Страница 50 номер 5.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите \(\max\limits_{M} f(x)\) и \(\min\limits_{M} f(x)\), если: 1) \(f(x) = -x^2 - 8x - 3\), \(M = \mathbf{R}\); 2) \(f(x) = \sqrt{2x - x^2}\), \(M = D(f)\).
1) \(-x^2 - 8x - 3 = -(x^2 + 8x + 16) + 16 - 3 = -(x + 4)^2 + 13\).
\((x + 4)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(f(x) \leqslant 13\), а \(f(-4) = 13\): \(\max\limits_{\mathbf{R}} f(x) = f(-4) = 13\).
Наименьшего значения нет: для любого числа \(x_0\) возьмём \(x_1 = -5 - |x_0 + 4|\); тогда \(x_1 + 4 = -1 - |x_0 + 4|\), поэтому \((x_1 + 4)^2 = \left(1 + |x_0 + 4|\right)^2 > (x_0 + 4)^2\) и \(f(x_1) < f(x_0)\).
2) \(2x - x^2 \geqslant 0\), то есть \(x(2 - x) \geqslant 0\); нули трёхчлена \(2x - x^2\) — числа 0 и 2, старший коэффициент отрицателен, поэтому трёхчлен неотрицателен на отрезке между корнями: \(M = D(f) = [0;\ 2]\).
\(2x - x^2 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = 1 - (x - 1)^2 \leqslant 1\), а на отрезке \([0;\ 2]\) ещё и \(2x - x^2 \geqslant 0\), поэтому \(0 \leqslant \sqrt{2x - x^2} \leqslant 1\); обе границы достигаются: \(f(0) = 0\) и \(f(1) = \sqrt{2 - 1} = 1\).
\(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(1) = 1\).
Ответ: 1) \(\max\limits_{\mathbf{R}} f(x) = 13\), наименьшего значения не существует; 2) \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 1\).
Найдите \(\max\limits_{M} f(x)\) и \(\min\limits_{M} f(x)\), если: 1) \(f(x) = -x^2 - 8x - 3\), \(M = \mathbf{R}\); 2) \(f(x) = \sqrt{2x - x^2}\), \(M = D(f)\).
1) Выделим полный квадрат: \(-x^2 - 8x - 3 = -(x^2 + 8x + 16) + 16 - 3 = -(x + 4)^2 + 13\).
При любом \(x\) выполняется \((x + 4)^2 \geqslant 0\), поэтому \(f(x) \leqslant 13\). При \(x = -4\) получаем \(f(-4) = 13\), значит, \(\max\limits_{\mathbf{R}} f(x) = f(-4) = 13\).
Наименьшего значения функция не имеет. Действительно, каким бы ни было число \(x_0\), возьмём \(x_1 = -5 - |x_0 + 4|\). Тогда \(x_1 + 4 = -1 - |x_0 + 4|\), поэтому \((x_1 + 4)^2 = \left(1 + |x_0 + 4|\right)^2 > (x_0 + 4)^2\) и \(f(x_1) < f(x_0)\). Значит, ни одно значение функции не является наименьшим.
2) Найдём область определения: \(2x - x^2 \geqslant 0\), то есть \(x(2 - x) \geqslant 0\). Нули квадратного трёхчлена \(2x - x^2\) — числа 0 и 2, а его старший коэффициент отрицателен, поэтому трёхчлен неотрицателен на отрезке между корнями. Значит, \(M = D(f) = [0;\ 2]\).
Выделим полный квадрат: \(2x - x^2 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = 1 - (x - 1)^2\). Отсюда \(2x - x^2 \leqslant 1\), а на отрезке \([0;\ 2]\) ещё и \(2x - x^2 \geqslant 0\), поэтому \(0 \leqslant \sqrt{2x - x^2} \leqslant 1\). Оба крайних значения достигаются: \(f(0) = 0\) и \(f(1) = \sqrt{2 - 1} = 1\).
Значит, \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(0) = 0\) и \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = f(1) = 1\).
Ответ: 1) \(\max\limits_{\mathbf{R}} f(x) = 13\), наименьшего значения не существует; 2) \(\min\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[0;\ 2]} f(x) = 1\).
