Страница 49 номер 5.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите \(\max\limits_{M} f(x)\) и \(\min\limits_{M} f(x)\), если: 1) \(f(x) = x^2 - 6x + 10\), \(M = \mathbf{R}\); 2) \(f(x) = \sqrt{16 - x^2}\), \(M = D(f)\).
1) \(x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1\).
\((x - 3)^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), поэтому \(f(x) \geqslant 1\), а \(f(3) = 1\): \(\min\limits_{\mathbf{R}} f(x) = f(3) = 1\).
Наибольшего значения нет: для любого числа \(x_0\) возьмём \(x_1 = 4 + |x_0 - 3|\); тогда \(x_1 - 3 = 1 + |x_0 - 3| > |x_0 - 3| \geqslant 0\), поэтому \((x_1 - 3)^2 > (x_0 - 3)^2\) и \(f(x_1) > f(x_0)\).
2) \(16 - x^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 \leqslant 16\), то есть \(|x| \leqslant 4\) и \(M = D(f) = [-4;\ 4]\).
На отрезке \([-4;\ 4]\) имеем \(0 \leqslant 16 - x^2 \leqslant 16\), а тогда \(0 \leqslant \sqrt{16 - x^2} \leqslant 4\); обе границы достигаются: \(f(4) = \sqrt{16 - 16} = 0\) и \(f(0) = \sqrt{16} = 4\).
\(\min\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = f(4) = 0\), \(\max\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = f(0) = 4\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} f(x) = 1\), наибольшего значения не существует; 2) \(\min\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = 4\).
Найдите \(\max\limits_{M} f(x)\) и \(\min\limits_{M} f(x)\), если: 1) \(f(x) = x^2 - 6x + 10\), \(M = \mathbf{R}\); 2) \(f(x) = \sqrt{16 - x^2}\), \(M = D(f)\).
1) Выделим полный квадрат: \(x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1\).
При любом \(x\) выполняется \((x - 3)^2 \geqslant 0\), поэтому \(f(x) \geqslant 1\). При \(x = 3\) получаем \(f(3) = 1\), значит, \(\min\limits_{\mathbf{R}} f(x) = f(3) = 1\).
Наибольшего значения функция не имеет. Действительно, каким бы ни было число \(x_0\), возьмём \(x_1 = 4 + |x_0 - 3|\). Тогда \(x_1 - 3 = 1 + |x_0 - 3| > |x_0 - 3| \geqslant 0\), поэтому \((x_1 - 3)^2 > (x_0 - 3)^2\) и \(f(x_1) > f(x_0)\). Значит, ни одно значение функции не является наибольшим.
2) Найдём область определения: \(16 - x^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 \leqslant 16\), то есть \(|x| \leqslant 4\). Значит, \(M = D(f) = [-4;\ 4]\).
Для всех \(x \in [-4;\ 4]\) имеем \(0 \leqslant 16 - x^2 \leqslant 16\), а тогда \(0 \leqslant \sqrt{16 - x^2} \leqslant 4\). Оба крайних значения достигаются: \(f(4) = \sqrt{16 - 16} = 0\) и \(f(0) = \sqrt{16} = 4\).
Значит, \(\min\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = f(4) = 0\) и \(\max\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = f(0) = 4\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} f(x) = 1\), наибольшего значения не существует; 2) \(\min\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = 0\), \(\max\limits_{[-4;\ 4]} f(x) = 4\).
