Страница 49 номер 5.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}\); 2) \(y = \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2(x + 3)}}\); 3) \(y = \sqrt{(x + 4)^2(x - 3)}\).
1) Корень стоит в знаменателе, поэтому \(|x| - 1 > 0\):
\[\begin{cases} |x| - 1 > 0, \\ x + 4 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(|x| > 1\), то есть \(x < -1\) или \(x > 1\); вместе с \(x \geqslant -4\) получаем \(D(y) = [-4;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\).
2) Корень стоит в знаменателе, поэтому \((x + 1)^2(x + 3) > 0\). Множитель \((x + 1)^2\) обращается в нуль только при \(x = -1\), поэтому произведение положительно при \(x \ne -1\) и \(x + 3 > 0\), то есть при \(x > -3\).
\(D(y) = (-3;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\).
3) \((x + 4)^2(x - 3) \geqslant 0\), множитель \((x + 4)^2\) неотрицателен при любом \(x\).
При \(x = -4\) имеем \((x + 4)^2 = 0\) и произведение равно нулю — условие выполняется.
При \(x \ne -4\) имеем \((x + 4)^2 > 0\), и неравенство равносильно условию \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
\(D(y) = \{-4\} \cup [3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((-3;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\); 3) \(\{-4\} \cup [3;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}\); 2) \(y = \frac{1}{\sqrt{(x + 1)^2(x + 3)}}\); 3) \(y = \sqrt{(x + 4)^2(x - 3)}\).
1) Корень стоит в знаменателе, поэтому выражение \(|x| - 1\) должно быть строго положительным. Область определения задаётся системой \[\begin{cases} |x| - 1 > 0, \\ x + 4 \geqslant 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(|x| > 1\), то есть \(x < -1\) или \(x > 1\); второе даёт \(x \geqslant -4\). Общая часть этих множеств — \([-4;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\), поэтому \(D(y) = [-4;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\).
2) Корень стоит в знаменателе, поэтому должно выполняться строгое неравенство \((x + 1)^2(x + 3) > 0\). Множитель \((x + 1)^2\) неотрицателен при любом \(x\) и обращается в нуль только при \(x = -1\), поэтому произведение положительно тогда и только тогда, когда \(x \ne -1\) и \(x + 3 > 0\), то есть \(x > -3\).
Значит, \(D(y) = (-3;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\).
3) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых \((x + 4)^2(x - 3) \geqslant 0\). Множитель \((x + 4)^2\) неотрицателен при любом \(x\).
Если \(x = -4\), то \((x + 4)^2 = 0\) и произведение равно нулю — условие выполняется.
Если \(x \ne -4\), то \((x + 4)^2 > 0\), и неравенство равносильно условию \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
Значит, \(D(y) = \{-4\} \cup [3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ -1) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((-3;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\); 3) \(\{-4\} \cup [3;\ +\infty)\).
