Страница 49 номер 5.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}\); 2) \(y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\); 3) \(y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}\).
1) Область определения:
\[\begin{cases} 4 - |x| \geqslant 0, \\ x + 2 \ne 0. \end{cases}\]
\(|x| \leqslant 4\), то есть \(-4 \leqslant x \leqslant 4\), и \(x \ne -2\): \(D(y) = [-4;\ -2) \cup (-2;\ 4]\).
2) Корень стоит в знаменателе, поэтому \(x + 1 > 0\):
\[\begin{cases} |x| - 3 \geqslant 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(|x| \geqslant 3\), то есть \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\); вместе с \(x > -1\) получаем \(D(y) = [3;\ +\infty)\).
3) \(|x + 1|(x - 3) \geqslant 0\), множитель \(|x + 1|\) неотрицателен при любом \(x\).
При \(x = -1\) имеем \(|x + 1| = 0\) и произведение равно нулю — условие выполняется.
При \(x \ne -1\) имеем \(|x + 1| > 0\), и неравенство равносильно условию \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
\(D(y) = \{-1\} \cup [3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ -2) \cup (-2;\ 4]\); 2) \([3;\ +\infty)\); 3) \(\{-1\} \cup [3;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}\); 2) \(y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}\); 3) \(y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}\).
1) Область определения задаётся системой \[\begin{cases} 4 - |x| \geqslant 0, \\ x + 2 \ne 0. \end{cases}\]
Из первого условия \(|x| \leqslant 4\), то есть \(-4 \leqslant x \leqslant 4\); из второго \(x \ne -2\). Значит, \(D(y) = [-4;\ -2) \cup (-2;\ 4]\).
2) Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение \(x + 1\) должно быть строго положительным. Область определения задаётся системой \[\begin{cases} |x| - 3 \geqslant 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
Первое неравенство даёт \(|x| \geqslant 3\), то есть \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 3\); второе даёт \(x > -1\). Общая часть этих множеств — промежуток \([3;\ +\infty)\), поэтому \(D(y) = [3;\ +\infty)\).
3) Функция определена при тех значениях \(x\), при которых \(|x + 1|(x - 3) \geqslant 0\). Множитель \(|x + 1|\) неотрицателен при любом \(x\).
Если \(x = -1\), то \(|x + 1| = 0\) и произведение равно нулю — условие выполняется.
Если \(x \ne -1\), то \(|x + 1| > 0\), и неравенство равносильно условию \(x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 3\).
Значит, \(D(y) = \{-1\} \cup [3;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \([-4;\ -2) \cup (-2;\ 4]\); 2) \([3;\ +\infty)\); 3) \(\{-1\} \cup [3;\ +\infty)\).
