Страница 49 номер 5.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Исследуйте на чётность функцию: 1) \(y = \frac{x - 1}{x - 1}\); 2) \(y = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}\); 3) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\); 4) \(y = x\mathcal{D}(x)\).
1) \(x - 1 \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\). Число \(-1\) принадлежит области определения, а противоположное ему число 1 — нет: область определения не симметрична относительно начала координат, и функция не является ни чётной, ни нечётной. Сокращать дробь до \(y = 1\) нельзя — изменилась бы область определения.
2) \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}\); \(x^2 - 1 \ne 0\), то есть \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = f(x)\): функция чётная. Нечётной она не является: \(f(0) = 1\), а \(-f(0) = -1\).
3) Область определения:
\[\begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(x \geqslant 1\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\). Число 1 принадлежит области определения, а число \(-1\) — нет: область определения не симметрична относительно начала координат, и функция не является ни чётной, ни нечётной. Заменять \(\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\) на \(\sqrt{x^2 - 1}\) нельзя — у \(\sqrt{x^2 - 1}\) область определения шире.
4) \(f(x) = x\mathcal{D}(x)\), \(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Вместе с рациональным числом \(x\) рационально и \(-x\), вместе с иррациональным — иррационально, поэтому \(\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)\) и
\[f(-x) = -x\mathcal{D}(-x) = -x\mathcal{D}(x) = -f(x).\]
Функция нечётная. Чётной она не является: \(f(1) = 1\), а \(f(-1) = -1\).
Ответ: 1) не является ни чётной, ни нечётной; 2) чётная; 3) не является ни чётной, ни нечётной; 4) нечётная.
Исследуйте на чётность функцию: 1) \(y = \frac{x - 1}{x - 1}\); 2) \(y = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}\); 3) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\); 4) \(y = x\mathcal{D}(x)\).
1) Дробь имеет смысл при \(x - 1 \ne 0\), поэтому \(D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\). Число \(-1\) принадлежит области определения, а противоположное ему число 1 — не принадлежит, значит, область определения не симметрична относительно начала координат. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Сокращать дробь до \(y = 1\) нельзя: это изменило бы область определения.
2) Пусть \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}\). Дробь имеет смысл при \(x^2 - 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\), поэтому \(D(f) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(f)\) имеем \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = f(x)\), значит, функция чётная. Нечётной она не является: например, \(f(0) = 1\), а \(-f(0) = -1\), поэтому при \(x = 0\) равенство \(f(-x) = -f(x)\) не выполняется.
3) Область определения задаётся системой \[\begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(x \geqslant 1\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\). Число 1 принадлежит области определения, а число \(-1\) — нет, значит, область определения не симметрична относительно начала координат. Поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Заменять произведение \(\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\) на \(\sqrt{x^2 - 1}\) нельзя: у выражения \(\sqrt{x^2 - 1}\) область определения шире.
4) Пусть \(f(x) = x\mathcal{D}(x)\). Функция Дирихле определена при всех действительных значениях аргумента, поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Если \(x\) — рациональное число, то и \(-x\) рационально; если \(x\) иррационально, то и \(-x\) иррационально. Значит, для любого \(x\) выполняется равенство \(\mathcal{D}(-x) = \mathcal{D}(x)\), а тогда \[f(-x) = -x\mathcal{D}(-x) = -x\mathcal{D}(x) = -f(x).\]
Следовательно, функция нечётная. Чётной она не является: \(f(1) = 1\), а \(f(-1) = -1\).
Ответ: 1) не является ни чётной, ни нечётной; 2) чётная; 3) не является ни чётной, ни нечётной; 4) нечётная.
