Страница 49 номер 5.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что функция является нечётной: 1) \(g(x) = \sqrt{2 - x} - \sqrt{2 + x}\); 2) \(g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}}\); 3) \(g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}\); 4) \(g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 - x + 1} + \frac{3x - 2}{x^2 + x + 1}\).
1) Область определения:
\[\begin{cases} 2 - x \geqslant 0, \\ 2 + x \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), то есть \(D(g) = [-2;\ 2]\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &g(-x) = \sqrt{2 - (-x)} - \sqrt{2 + (-x)} = {} \\ &= \sqrt{2 + x} - \sqrt{2 - x} = -g(x). \end{aligned}\]
Функция нечётная.
2) Область определения:
\[\begin{cases} 3 - x \geqslant 0, \\ 3 + x \geqslant 0, \\ \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x} \ne 0. \end{cases}\]
Из первых двух условий \(-3 \leqslant x \leqslant 3\); равенство \(\sqrt{3 - x} = \sqrt{3 + x}\) возможно только при \(3 - x = 3 + x\), то есть при \(x = 0\). Значит, \(D(g) = [-3;\ 0) \cup (0;\ 3]\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x}} = {} \\ &= \frac{x^2}{-\left(\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}\right)} = -g(x). \end{aligned}\]
Функция нечётная.
3) \(x^4 - 1 \ne 0\), то есть \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\): \(D(g) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Противоположные числа имеют равные модули, поэтому \(|-4x - 1| = |4x + 1|\) и \(|-4x + 1| = |4x - 1|\):
\[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{|-4x - 1| - |-4x + 1|}{(-x)^4 - 1} = {} \\ &= \frac{|4x + 1| - |4x - 1|}{x^4 - 1} = -g(x). \end{aligned}\]
Функция нечётная.
4) Знаменатели в нуль не обращаются: \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) и \(x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) при любом \(x\), поэтому \(D(g) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{-3x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{-3x - 2}{x^2 - x + 1} = {} \\ &= -\frac{3x - 2}{x^2 + x + 1} - \frac{3x + 2}{x^2 - x + 1} = -g(x). \end{aligned}\]
Функция нечётная.
Ответ: во всех четырёх случаях область определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\), поэтому каждая из функций нечётная.
Докажите, что функция является нечётной: 1) \(g(x) = \sqrt{2 - x} - \sqrt{2 + x}\); 2) \(g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}}\); 3) \(g(x) = \frac{|4x - 1| - |4x + 1|}{x^4 - 1}\); 4) \(g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 - x + 1} + \frac{3x - 2}{x^2 + x + 1}\).
1) Область определения задаётся системой \[\begin{cases} 2 - x \geqslant 0, \\ 2 + x \geqslant 0. \end{cases}\]
Отсюда \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), то есть \(D(g) = [-2;\ 2]\). Это множество симметрично относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(g)\) имеем: \[\begin{aligned} &g(-x) = \sqrt{2 - (-x)} - \sqrt{2 + (-x)} = {} \\ &= \sqrt{2 + x} - \sqrt{2 - x} = -g(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(g\) нечётная.
2) Область определения задаётся системой \[\begin{cases} 3 - x \geqslant 0, \\ 3 + x \geqslant 0, \\ \sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x} \ne 0. \end{cases}\]
Из первых двух условий получаем \(-3 \leqslant x \leqslant 3\). Равенство \(\sqrt{3 - x} = \sqrt{3 + x}\) возможно только при \(3 - x = 3 + x\), то есть при \(x = 0\). Значит, \(D(g) = [-3;\ 0) \cup (0;\ 3]\), и это множество симметрично относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(g)\) имеем: \[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{3 + x} - \sqrt{3 - x}} = {} \\ &= \frac{x^2}{-\left(\sqrt{3 - x} - \sqrt{3 + x}\right)} = -g(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(g\) нечётная.
3) Дробь имеет смысл при \(x^4 - 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\). Значит, \(D(g) = (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Противоположные числа имеют равные модули, поэтому \(|-4x - 1| = |4x + 1|\) и \(|-4x + 1| = |4x - 1|\). Для любого \(x \in D(g)\) имеем: \[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{|-4x - 1| - |-4x + 1|}{(-x)^4 - 1} = {} \\ &= \frac{|4x + 1| - |4x - 1|}{x^4 - 1} = -g(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(g\) нечётная.
4) Знаменатели в нуль не обращаются: \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) и \(x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) при любом \(x\). Значит, \(D(g) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(g)\) имеем: \[\begin{aligned} &g(-x) = \frac{-3x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{-3x - 2}{x^2 - x + 1} = {} \\ &= -\frac{3x - 2}{x^2 + x + 1} - \frac{3x + 2}{x^2 - x + 1} = -g(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(g\) нечётная.
Ответ: во всех четырёх случаях область определения симметрична относительно начала координат и выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\), поэтому каждая из функций нечётная.
