Страница 49 номер 5.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что функция является чётной: 1) \(f(x) = -3x^2 + |x| - 1\); 2) \(f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}\); 3) \(f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}\); 4) \(f(x) = (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4|\).
1) \(f(x) = -3x^2 + |x| - 1\).
\(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\(f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1 = -3x^2 + |x| - 1 = f(x)\): функция чётная.
2) \(f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}\).
\[\begin{cases} 1 - x \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0, \\ \sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1} \ne 0. \end{cases}\]
Из первых двух условий \(-1 \leqslant x \leqslant 1\); равенство \(\sqrt{1 - x} = \sqrt{x + 1}\) при таких \(x\) равносильно равенству \(1 - x = x + 1\), откуда \(x = 0\). Значит, \(D(f) = [-1;\ 0) \cup (0;\ 1]\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1 - (-x)} - \sqrt{-x + 1}} = {} \\ &= \frac{-x^3}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}} = \frac{-x^3}{-\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)} = {} \\ &= \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}} = f(x). \end{aligned}\]
Функция чётная.
3) \(f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}\).
У трёхчленов \(x^2 - 3x + 5\) и \(x^2 + 3x + 5\) дискриминант \(9 - 20 = -11\) отрицателен, а старшие коэффициенты положительны, поэтому оба подкоренных выражения положительны при любом \(x\) и \(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
\[\begin{aligned} &f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5} = {} \\ &= \sqrt{x^2 + 3x + 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = f(x). \end{aligned}\]
Функция чётная.
4) \(f(x) = (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4|\).
\(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно начала координат.
Так как \(|-x - 4| = |x + 4|\) и \(|-x + 4| = |x - 4|\), то
\[\begin{aligned} &f(-x) = (-x + 2)\,|-x - 4| - (-x - 2)\,|-x + 4| = {} \\ &= (2 - x)\,|x + 4| + (x + 2)\,|x - 4| = {} \\ &= (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4| = f(x). \end{aligned}\]
Функция чётная.
Ответ: у каждой из четырёх функций область определения симметрична относительно начала координат и для любого \(x\) из области определения \(f(-x) = f(x)\), поэтому все четыре функции чётные.
Докажите, что функция является чётной: 1) \(f(x) = -3x^2 + |x| - 1\); 2) \(f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}\); 3) \(f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}\); 4) \(f(x) = (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4|\).
1) \(f(x) = -3x^2 + |x| - 1\).
Выражение имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\), и область определения симметрична относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(f)\) имеем: \(f(-x) = -3(-x)^2 + |-x| - 1 = -3x^2 + |x| - 1 = f(x)\). Следовательно, функция \(f\) чётная.
2) \(f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}}\).
Область определения задаётся системой:
\[\begin{cases} 1 - x \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0, \\ \sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1} \ne 0. \end{cases}\]
Из первых двух условий получаем \(-1 \leqslant x \leqslant 1\). Равенство \(\sqrt{1 - x} = \sqrt{x + 1}\) при таких \(x\) равносильно равенству \(1 - x = x + 1\), откуда \(x = 0\). Значит, \(D(f) = [-1;\ 0) \cup (0;\ 1]\), и область определения симметрична относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(f)\) имеем:
\[\begin{aligned} &f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1 - (-x)} - \sqrt{-x + 1}} = {} \\ &= \frac{-x^3}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}} = \frac{-x^3}{-\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)} = {} \\ &= \frac{x^3}{\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}} = f(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(f\) чётная.
3) \(f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5}\).
Дискриминант квадратного трёхчлена \(x^2 - 3x + 5\) равен \(9 - 20 = -11\), дискриминант трёхчлена \(x^2 + 3x + 5\) равен \(9 - 20 = -11\). Оба дискриминанта отрицательны, а старшие коэффициенты положительны, поэтому оба подкоренных выражения положительны при любом \(x\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\), и область определения симметрична относительно начала координат.
Для любого \(x \in D(f)\) имеем:
\[\begin{aligned} &f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 3(-x) + 5} + \sqrt{(-x)^2 + 3(-x) + 5} = {} \\ &= \sqrt{x^2 + 3x + 5} + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = f(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(f\) чётная.
4) \(f(x) = (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4|\).
Выражение имеет смысл при любом значении \(x\), поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\), и область определения симметрична относительно начала координат.
Так как \(|-x - 4| = |x + 4|\) и \(|-x + 4| = |x - 4|\), то для любого \(x \in D(f)\) имеем:
\[\begin{aligned} &f(-x) = (-x + 2)\,|-x - 4| - (-x - 2)\,|-x + 4| = {} \\ &= (2 - x)\,|x + 4| + (x + 2)\,|x - 4| = {} \\ &= (x + 2)\,|x - 4| - (x - 2)\,|x + 4| = f(x). \end{aligned}\]
Следовательно, функция \(f\) чётная.
Ответ: у каждой из четырёх функций область определения симметрична относительно начала координат и для любого \(x\) из области определения \(f(-x) = f(x)\), поэтому все четыре функции чётные.
