Страница 49 номер 5.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) нечётная. Может ли выполняться равенство: 1) \(f(1) + f(-1) = 1\); 2) \(f(2)\,f(-2) = 3\); 3) \(\frac{f(-2)}{f(2)} = 0\)?
Функция \(f\) нечётная, поэтому \(f(-x) = -f(x)\).
1) \(f(1) + f(-1) = f(1) - f(1) = 0\), а \(0 \ne 1\): равенство невозможно.
2) \(f(2)\,f(-2) = f(2) \cdot \bigl(-f(2)\bigr) = -\bigl(f(2)\bigr)^2\), число, противоположное квадрату, неположительно, а \(3 > 0\): равенство невозможно.
3) Дробь \(\frac{f(-2)}{f(2)}\) имеет смысл только при \(f(2) \ne 0\); тогда \(\frac{f(-2)}{f(2)} = \frac{-f(2)}{f(2)} = -1\), а \(-1 \ne 0\): равенство невозможно.
Ответ: ни одно из трёх равенств для нечётной функции выполняться не может: 1) сумма \(f(1) + f(-1)\) равна 0; 2) произведение \(f(2)\,f(-2)\) неположительно; 3) частное \(\frac{f(-2)}{f(2)}\) равно \(-1\).
Функция \(f\) нечётная. Может ли выполняться равенство: 1) \(f(1) + f(-1) = 1\); 2) \(f(2)\,f(-2) = 3\); 3) \(\frac{f(-2)}{f(2)} = 0\)?
Так как функция \(f\) нечётная, то для любого \(x\) из её области определения выполняется равенство \(f(-x) = -f(x)\).
1) \(f(1) + f(-1) = 1\).
Имеем \(f(-1) = -f(1)\), поэтому \(f(1) + f(-1) = f(1) - f(1) = 0\), а \(0 \ne 1\). Значит, такое равенство выполняться не может.
2) \(f(2)\,f(-2) = 3\).
Имеем \(f(-2) = -f(2)\), поэтому \(f(2)\,f(-2) = f(2) \cdot \bigl(-f(2)\bigr) = -\bigl(f(2)\bigr)^2\). Число, противоположное квадрату, неположительно, а \(3 > 0\). Значит, такое равенство выполняться не может.
3) \(\frac{f(-2)}{f(2)} = 0\).
Дробь \(\frac{f(-2)}{f(2)}\) имеет смысл только при \(f(2) \ne 0\). Тогда \(\frac{f(-2)}{f(2)} = \frac{-f(2)}{f(2)} = -1\), а \(-1 \ne 0\). Значит, такое равенство выполняться не может.
Ответ: ни одно из трёх равенств для нечётной функции выполняться не может: 1) сумма \(f(1) + f(-1)\) равна 0; 2) произведение \(f(2)\,f(-2)\) неположительно; 3) частное \(\frac{f(-2)}{f(2)}\) равно \(-1\).
