Вопросы после параграфа §5 на странице 48, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Пусть \(X\) — множество значений независимой переменной, \(Y\) — множество значений зависимой переменной. Функцией называют правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества \(X\) можно найти единственное значение зависимой переменной из множества \(Y\).

Другими словами, функция — это правило, которое каждому элементу множества \(X\) ставит в соответствие единственный элемент множества \(Y\). Если независимую переменную обозначить \(x\), а зависимую — \(y\), то этот факт записывают так: \(y = f(x)\). Переменную \(x\) называют аргументом функции, множество \(X\) — областью определения функции и обозначают \(D(f)\), множество \(Y\) — областью значений функции и обозначают \(E(f)\).

Например, правило «каждому числу \(x\) поставим в соответствие число \(x^2\)» задаёт функцию: значение \(x^2\) для каждого \(x\) единственное. А правило «каждому числу \(x\) поставим в соответствие число \(y\), для которого \(y^2 = x\)» функцию не задаёт: числу 4 отвечают сразу два числа, \(-2\) и 2.

Ответ: функцией называют правило, которое каждому элементу множества \(X\) ставит в соответствие единственный элемент множества \(Y\).

Если областью определения функции \(f\) является множество \(X\), а областью значений — множество \(Y\), то функцию \(f\) называют отображением множества \(X\) на множество \(Y\). Такое отображение называют взаимно однозначным отображением множества \(X\) на множество \(Y\) (биекцией), если каждый элемент множества \(Y\) является соответствующим одному и только одному элементу множества \(X\).

Например, функция \(y = \sqrt{x - 1}\) является взаимно однозначным отображением множества \(X = [1;\ +\infty)\) на множество \(Y = [0;\ +\infty)\): каждому числу \(y_0 \geqslant 0\) отвечает единственное число \(x_0 = y_0^2 + 1\). А функция \(y = x^2\) не является взаимно однозначным отображением множества \(X = \mathbf{R}\) на множество \(Y = [0;\ +\infty)\): элемент 4 множества \(Y\) является соответствующим двум элементам множества \(X\) — числам \(-2\) и 2.

Ответ: взаимно однозначным отображением множества \(X\) на множество \(Y\) называют такое отображение, при котором каждый элемент множества \(Y\) соответствует одному и только одному элементу множества \(X\).

Функцию можно задать одним из четырёх способов: описательно, с помощью формулы, с помощью таблицы, графически.

Описательно заданы, например, функция Дирихле \(\mathcal{D}(x)\) (каждому рациональному числу поставлено в соответствие число 1, а каждому иррациональному — число 0), целая часть числа \([x]\) и дробная часть числа \(\{x\}\). Формулой функцию задают чаще всего: например, \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\); если при этом область определения не указана, то ею считают множество всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Таблицей функцию задают перечислением: в одной строке выписывают значения аргумента, в другой — соответствующие им значения функции. При графическом способе функцию задают её графиком.

Ответ: описательно, с помощью формулы, с помощью таблицы, графически.

Число \(f(x_0)\) называют наибольшим значением функции \(f\) на множестве \(M \subset D(f)\), если существует такое число \(x_0 \in M\), что для всех \(x \in M\) выполняется неравенство \(f(x_0) \geqslant f(x)\). Обозначают: \(\max\limits_{M} f(x) = f(x_0)\).

Число \(f(x_0)\) называют наименьшим значением функции \(f\) на множестве \(M \subset D(f)\), если существует такое число \(x_0 \in M\), что для всех \(x \in M\) выполняется неравенство \(f(x_0) \leqslant f(x)\). Обозначают: \(\min\limits_{M} f(x) = f(x_0)\).

Например, для функции \(f(x) = \sqrt{x}\) и множества \(M = [0;\ 4]\) имеем \(\min\limits_{[0;\ 4]} f(x) = f(0) = 0\) и \(\max\limits_{[0;\ 4]} f(x) = f(4) = 2\). Наибольшего или наименьшего значения на множестве \(M\) у функции может и не быть: функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) на множестве \(M = (0;\ +\infty)\) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: наибольшим значением функции \(f\) на множестве \(M \subset D(f)\) называют такое её значение \(f(x_0)\), где \(x_0 \in M\), что \(f(x_0) \geqslant f(x)\) для всех \(x \in M\); наименьшим — такое значение \(f(x_0)\), что \(f(x_0) \leqslant f(x)\) для всех \(x \in M\).

Функцию \(f\) называют чётной, если для любого \(x\) из области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\). Функцию \(f\) называют нечётной, если для любого \(x\) из области определения выполняется равенство \(f(-x) = -f(x)\).

В обоих случаях вместе с каждым числом \(x_0\) области определения ей принадлежит и число \(-x_0\), то есть область определения симметрична относительно начала координат. Поэтому функция, область определения которой не симметрична относительно начала координат, не может быть ни чётной, ни нечётной.

Например, функция \(f(x) = x^2\) чётная, так как \(D(f) = \mathbf{R}\) и \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\); функция \(g(x) = x^3\) нечётная, так как \(D(g) = \mathbf{R}\) и \(g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)\). А функция \(y = \frac{1}{x - 1}\) с областью определения \((-\infty;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\) не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: чётной называют функцию, для которой \(f(-x) = f(x)\) при любом \(x\) из области определения; нечётной — функцию, для которой при любом \(x\) из области определения \(f(-x) = -f(x)\).

Ось ординат является осью симметрии графика чётной функции, а начало координат — центром симметрии графика нечётной функции.

Пусть точка \(M(a;\ b)\) принадлежит графику чётной функции \(f\), то есть \(f(a) = b\). Тогда \(f(-a) = f(a) = b\), значит, графику принадлежит и точка \(M_1(-a;\ b)\), симметричная точке \(M\) относительно оси ординат.

Пусть теперь функция \(f\) нечётная и \(f(a) = b\). Тогда \(f(-a) = -f(a) = -b\), значит, вместе с точкой \(M(a;\ b)\) графику принадлежит точка \(M_1(-a;\ -b)\), симметричная точке \(M\) относительно начала координат.

Ответ: осью симметрии графика чётной функции является ось ординат, а центром симметрии графика нечётной функции — начало координат.