Страница 40 номер 4.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Множества \(A\) и \(B\) — области истинности предикатов \(A(x)\) и \(B(x)\), заданных на множестве \(M\) (рис. 4.2). Заштрихуйте область истинности предиката: 1) \(A(x) \wedge B(x)\); 2) \(A(x) \vee B(x)\); 3) \(A(x) \Rightarrow B(x)\).
Область истинности конъюнкции — множество \(A \cap B\), дизъюнкции — множество \(A \cup B\). Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) ложна ровно для элементов множества \(A \setminus B\), поэтому её область истинности — множество \(M \setminus (A \setminus B)\).
а) Общих точек у кругов нет: \(A \cap B = \varnothing\), и для конъюнкции штриховать нечего; дизъюнкции отвечают оба круга; \(A \setminus B = A\), поэтому импликации отвечает прямоугольник \(M\), из которого удалён круг \(A\).
б) Конъюнкции отвечает общая часть кругов, дизъюнкции — оба круга целиком; множество \(A \setminus B\) — часть круга \(A\), лежащая вне круга \(B\), её и надо исключить из множества \(M\), чтобы получить область истинности импликации.
в) Здесь \(A \subset B\): \(A \cap B = A\) — конъюнкции отвечает круг \(A\), \(A \cup B = B\) — дизъюнкции отвечает круг \(B\); \(A \setminus B = \varnothing\), поэтому импликации отвечает всё множество \(M\).
г) Здесь \(B \subset A\): \(A \cap B = B\) — конъюнкции отвечает круг \(B\), \(A \cup B = A\) — дизъюнкции отвечает круг \(A\); множество \(A \setminus B\) — кольцо между окружностями, поэтому импликации отвечает прямоугольник \(M\) без этого кольца.
Ответ: если круги не имеют общих точек, то 1) штриховать нечего, так как \(A \cap B = \varnothing\); 2) заштрихованы оба круга; 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без круга \(A\). Если круги пересекаются, то 1) заштрихована их общая часть; 2) заштрихованы оба круга; 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без той части круга \(A\), которая лежит вне круга \(B\). Если \(A \subset B\), то 1) заштрихован круг \(A\); 2) заштрихован круг \(B\); 3) заштрихован весь прямоугольник \(M\). Если \(B \subset A\), то 1) заштрихован круг \(B\); 2) заштрихован круг \(A\); 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без кольца между окружностями.
Множества \(A\) и \(B\) — области истинности предикатов \(A(x)\) и \(B(x)\), заданных на множестве \(M\) (рис. 4.2). Заштрихуйте область истинности предиката: 1) \(A(x) \wedge B(x)\); 2) \(A(x) \vee B(x)\); 3) \(A(x) \Rightarrow B(x)\).
Областью истинности конъюнкции \(A(x) \wedge B(x)\) является множество \(A \cap B\), областью истинности дизъюнкции \(A(x) \vee B(x)\) — множество \(A \cup B\).
Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(B\), то есть для элементов множества \(A \setminus B\). Значит, областью истинности импликации является множество \(M \setminus (A \setminus B)\).
а) Круги не имеют общих точек, поэтому \(A \cap B = \varnothing\) и для конъюнкции штриховать нечего. Дизъюнкции отвечают оба круга. Так как \(A \setminus B = A\), области истинности импликации отвечает весь прямоугольник \(M\), из которого удалён круг \(A\).
б) Круги пересекаются, и конъюнкции отвечает их общая часть. Дизъюнкции отвечают оба круга целиком. Множество \(A \setminus B\) — это часть круга \(A\), лежащая вне круга \(B\); её и надо исключить из множества \(M\), чтобы получить область истинности импликации.
в) Здесь \(A \subset B\), поэтому \(A \cap B = A\) и \(A \cup B = B\): конъюнкции отвечает круг \(A\), дизъюнкции — круг \(B\). Так как \(A \setminus B = \varnothing\), областью истинности импликации является всё множество \(M\).
г) Здесь \(B \subset A\), поэтому \(A \cap B = B\) и \(A \cup B = A\): конъюнкции отвечает круг \(B\), дизъюнкции — круг \(A\). Множество \(A \setminus B\) — это кольцо между окружностями, поэтому области истинности импликации отвечает прямоугольник \(M\) без этого кольца.
Ответ: если круги не имеют общих точек, то 1) штриховать нечего, так как \(A \cap B = \varnothing\); 2) заштрихованы оба круга; 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без круга \(A\). Если круги пересекаются, то 1) заштрихована их общая часть; 2) заштрихованы оба круга; 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без той части круга \(A\), которая лежит вне круга \(B\). Если \(A \subset B\), то 1) заштрихован круг \(A\); 2) заштрихован круг \(B\); 3) заштрихован весь прямоугольник \(M\). Если \(B \subset A\), то 1) заштрихован круг \(B\); 2) заштрихован круг \(A\); 3) заштрихован прямоугольник \(M\) без кольца между окружностями.
