Страница 39 номер 4.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x \geqslant 2\}\), \(Q(x) \equiv \{x < 5\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \Rightarrow Q(x)\); 2) \(Q(x) \Rightarrow P(x)\).
\(P = [2;\ +\infty)\), \(Q = (-\infty;\ 5)\).
1) Импликация \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) ложна для чисел, принадлежащих множеству \(P\) и не принадлежащих множеству \(Q\), то есть для которых одновременно \(x \geqslant 2\) и \(x \geqslant 5\): это числа промежутка \(P \setminus Q = [5;\ +\infty)\). Область истинности — \(\mathbf{R} \setminus [5;\ +\infty) = (-\infty;\ 5)\).
2) Импликация \(Q(x) \Rightarrow P(x)\) ложна для чисел, принадлежащих множеству \(Q\) и не принадлежащих множеству \(P\), то есть для которых одновременно \(x < 5\) и \(x < 2\): это числа промежутка \(Q \setminus P = (-\infty;\ 2)\). Область истинности — \(\mathbf{R} \setminus (-\infty;\ 2) = [2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 5)\); 2) \([2;\ +\infty)\).
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x \geqslant 2\}\), \(Q(x) \equiv \{x < 5\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \Rightarrow Q(x)\); 2) \(Q(x) \Rightarrow P(x)\).
Областью истинности предиката \(P(x)\) является промежуток \(P = [2;\ +\infty)\), областью истинности предиката \(Q(x)\) — промежуток \(Q = (-\infty;\ 5)\).
1) Импликация \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех чисел, которые принадлежат множеству \(P\), но не принадлежат множеству \(Q\), то есть для которых одновременно \(x \geqslant 2\) и \(x \geqslant 5\). Это числа промежутка \(P \setminus Q = [5;\ +\infty)\). Значит, областью истинности импликации является множество \(\mathbf{R} \setminus [5;\ +\infty) = (-\infty;\ 5)\).
2) Импликация \(Q(x) \Rightarrow P(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех чисел, которые принадлежат множеству \(Q\), но не принадлежат множеству \(P\), то есть для которых одновременно \(x < 5\) и \(x < 2\). Это числа промежутка \(Q \setminus P = (-\infty;\ 2)\). Значит, областью истинности импликации является множество \(\mathbf{R} \setminus (-\infty;\ 2) = [2;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 5)\); 2) \([2;\ +\infty)\).
