Страница 40 номер 4.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Среди предикатов, заданных на множестве \(\mathbf{R}\), укажите равносильные: \(A(x) \equiv \{-x^2 = 2\}\); \(B(x) \equiv \{(x - 3)^2 > 0\}\); \(C(x) \equiv \{[x] > x\}\); \(D(x) \equiv \left\{\dfrac{x - 3}{x - 3} = 1\right\}\).
Равенство \(-x^2 = 2\) равносильно равенству \(x^2 = -2\), а квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому таких \(x\) нет: \(A = \varnothing\).
Выражение \((x - 3)^2\) равно нулю при \(x = 3\) и положительно при всех остальных \(x\), поэтому \(B = \mathbf{R} \setminus \{3\}\).
Целая часть \([x]\) — наибольшее целое число, не превосходящее \(x\), поэтому \([x] \leqslant x\) при любом действительном \(x\) и неравенство \([x] > x\) не выполняется ни при одном \(x\): \(C = \varnothing\).
При \(x = 3\) выражение \(\dfrac{x - 3}{x - 3}\) не имеет смысла, а при \(x \ne 3\) числитель и знаменатель равны между собой и отличны от нуля, поэтому дробь равна 1 и равенство верно: \(D = \mathbf{R} \setminus \{3\}\).
Области истинности совпадают у предикатов \(A(x)\) и \(C(x)\) (обе пусты) и у предикатов \(B(x)\) и \(D(x)\) (обе равны \(\mathbf{R} \setminus \{3\}\)).
Ответ: \(A(x) \equiv C(x)\), \(B(x) \equiv D(x)\).
Среди предикатов, заданных на множестве \(\mathbf{R}\), укажите равносильные: \(A(x) \equiv \{-x^2 = 2\}\); \(B(x) \equiv \{(x - 3)^2 > 0\}\); \(C(x) \equiv \{[x] > x\}\); \(D(x) \equiv \left\{\dfrac{x - 3}{x - 3} = 1\right\}\).
Предикаты равносильны, если их области истинности совпадают, поэтому найдём область истинности каждого из данных предикатов.
Равенство \(-x^2 = 2\) равносильно равенству \(x^2 = -2\). Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому таких значений \(x\) нет: \(A = \varnothing\), предикат \(A(x)\) тождественно ложный.
Выражение \((x - 3)^2\) равно нулю при \(x = 3\), а при всех остальных значениях \(x\) положительно. Значит, \(B = \mathbf{R} \setminus \{3\}\).
Целая часть \([x]\) — это наибольшее целое число, не превосходящее \(x\), поэтому \([x] \leqslant x\) при любом действительном \(x\), и неравенство \([x] > x\) не выполняется ни при одном значении \(x\). Значит, \(C = \varnothing\), предикат \(C(x)\) тождественно ложный.
При \(x = 3\) выражение \(\dfrac{x - 3}{x - 3}\) не имеет смысла, так как знаменатель дроби обращается в нуль, и равенство не выполняется. При \(x \ne 3\) числитель и знаменатель дроби равны между собой и отличны от нуля, поэтому дробь равна 1 и равенство верно. Значит, \(D = \mathbf{R} \setminus \{3\}\).
Области истинности совпадают у предикатов \(A(x)\) и \(C(x)\) (обе пусты), а также у предикатов \(B(x)\) и \(D(x)\) (обе равны \(\mathbf{R} \setminus \{3\}\)).
Ответ: \(A(x) \equiv C(x)\), \(B(x) \equiv D(x)\).
