Страница 39 номер 4.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x > 2\}\), \(Q(x) \equiv \{x > 5\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \Rightarrow Q(x)\); 2) \(Q(x) \Rightarrow P(x)\).
\(P = (2;\ +\infty)\), \(Q = (5;\ +\infty)\).
1) Импликация \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) ложна для тех и только тех чисел, которые принадлежат множеству \(P\) и не принадлежат множеству \(Q\), то есть для чисел множества \(P \setminus Q = (2;\ 5]\). Область истинности — \(\mathbf{R} \setminus (2;\ 5] = (-\infty;\ 2] \cup (5;\ +\infty)\).
2) Каждое число, большее 5, больше и 2, поэтому \(Q \subset P\): чисел, для которых \(Q(x)\) истинен, а \(P(x)\) ложен, нет, и область истинности — всё множество \(\mathbf{R}\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2] \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\).
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x > 2\}\), \(Q(x) \equiv \{x > 5\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \Rightarrow Q(x)\); 2) \(Q(x) \Rightarrow P(x)\).
Областью истинности предиката \(P(x)\) является промежуток \(P = (2;\ +\infty)\), областью истинности предиката \(Q(x)\) — промежуток \(Q = (5;\ +\infty)\).
1) Импликация \(P(x) \Rightarrow Q(x)\) превращается в ложное высказывание для тех и только тех чисел, которые принадлежат множеству \(P\), но не принадлежат множеству \(Q\), то есть для чисел множества \(P \setminus Q = (2;\ 5]\). Все остальные действительные числа и образуют область истинности: \(\mathbf{R} \setminus (2;\ 5] = (-\infty;\ 2] \cup (5;\ +\infty)\).
2) Каждое число, большее 5, больше и 2, поэтому \(Q \subset P\). Значит, нет чисел, для которых предикат \(Q(x)\) истинен, а предикат \(P(x)\) ложен, и областью истинности импликации \(Q(x) \Rightarrow P(x)\) является всё множество \(\mathbf{R}\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2] \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\mathbf{R}\).
