Страница 39 номер 4.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Предикаты \(P(x) \equiv \{|x| = -1\}\), \(S(x) \equiv \{x + 3 = 0\}\) заданы на множестве \(\mathbf{R}\). Укажите область истинности предиката \(P(x) \Rightarrow S(x)\).
Модуль любого действительного числа неотрицателен, поэтому равенство \(|x| = -1\) не выполняется ни при одном \(x\): предикат \(P(x)\) тождественно ложный, \(P = \varnothing\).
Из уравнения \(x + 3 = 0\) получаем \(x = -3\), поэтому \(S = \{-3\}\).
Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому \(P \subset S\): чисел, для которых \(P(x)\) истинен, а \(S(x)\) ложен, нет, и импликация \(P(x) \Rightarrow S(x)\) истинна при всех действительных \(x\).
Ответ: \(\mathbf{R}\).
Предикаты \(P(x) \equiv \{|x| = -1\}\), \(S(x) \equiv \{x + 3 = 0\}\) заданы на множестве \(\mathbf{R}\). Укажите область истинности предиката \(P(x) \Rightarrow S(x)\).
Модуль любого действительного числа неотрицателен, поэтому равенство \(|x| = -1\) не выполняется ни при одном значении \(x\). Значит, предикат \(P(x)\) тождественно ложный и его область истинности \(P = \varnothing\).
Из уравнения \(x + 3 = 0\) получаем \(x = -3\), поэтому областью истинности предиката \(S(x)\) является множество \(S = \{-3\}\).
Пустое множество является подмножеством любого множества, поэтому \(P \subset S\). Значит, во множестве \(\mathbf{R}\) нет чисел, для которых предикат \(P(x)\) превращается в истинное высказывание, а предикат \(S(x)\) — в ложное, и импликация \(P(x) \Rightarrow S(x)\) истинна при всех действительных значениях \(x\).
Ответ: \(\mathbf{R}\).
