Страница 39 номер 4.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x \ne 5\}\), \(Q(x) \equiv \{x \ne -2\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \wedge Q(x)\); 2) \(P(x) \vee Q(x)\).
\(P = \mathbf{R} \setminus \{5\}\), \(Q = \mathbf{R} \setminus \{-2\}\).
1) Область истинности конъюнкции — множество \(P \cap Q\); число принадлежит ему тогда и только тогда, когда оно одновременно не равно 5 и не равно \(-2\), поэтому \(P \cap Q = \mathbf{R} \setminus \{-2,\ 5\}\).
2) Область истинности дизъюнкции — множество \(P \cup Q\); число 5 принадлежит множеству \(Q\), число \(-2\) — множеству \(P\), а любое другое число — обоим множествам, поэтому \(P \cup Q = \mathbf{R}\).
Ответ: 1) \(\mathbf{R} \setminus \{-2,\ 5\}\); 2) \(\mathbf{R}\).
На множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(P(x) \equiv \{x \ne 5\}\), \(Q(x) \equiv \{x \ne -2\}\). Укажите область истинности предиката: 1) \(P(x) \wedge Q(x)\); 2) \(P(x) \vee Q(x)\).
Областью истинности предиката \(P(x)\) является множество \(P = \mathbf{R} \setminus \{5\}\), областью истинности предиката \(Q(x)\) — множество \(Q = \mathbf{R} \setminus \{-2\}\).
1) Областью истинности конъюнкции \(P(x) \wedge Q(x)\) является множество \(P \cap Q\). Действительное число принадлежит ему тогда и только тогда, когда оно одновременно не равно 5 и не равно \(-2\). Значит, \(P \cap Q = \mathbf{R} \setminus \{-2,\ 5\}\).
2) Областью истинности дизъюнкции \(P(x) \vee Q(x)\) является множество \(P \cup Q\). Каждое действительное число принадлежит хотя бы одному из множеств \(P\) и \(Q\): число 5 не принадлежит множеству \(P\), но принадлежит множеству \(Q\); число \(-2\) не принадлежит множеству \(Q\), но принадлежит множеству \(P\); любое другое число принадлежит обоим множествам. Значит, \(P \cup Q = \mathbf{R}\).
Ответ: 1) \(\mathbf{R} \setminus \{-2,\ 5\}\); 2) \(\mathbf{R}\).
