Страница 41 номер 4.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Для теоремы «если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.
На множестве \(M\) всех выпуклых четырёхугольников заданы предикаты \(P(F) \equiv \{\text{суммы противолежащих сторон четырёхугольника } F \text{ равны}\}\) — условие теоремы, и \(Q(F) \equiv \{\text{в четырёхугольник } F \text{ можно вписать окружность}\}\) — её вывод; данная теорема — высказывание \((\forall F \in M)\ P(F) \Rightarrow Q(F)\).
Обратная теорема — \((\forall F \in M)\ Q(F) \Rightarrow P(F)\): если в некоторый выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.
Противоположная теорема — \((\forall F \in M)\ \overline{P(F)} \Rightarrow \overline{Q(F)}\): если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон не равны, то в него нельзя вписать окружность.
Теорема, обратная противоположной, — \((\forall F \in M)\ \overline{Q(F)} \Rightarrow \overline{P(F)}\): если в некоторый выпуклый четырёхугольник нельзя вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон не равны.
Ответ: обратная теорема — «если в некоторый выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны»; противоположная теорема — «если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон не равны, то в него нельзя вписать окружность»; теорема, обратная противоположной, — «если в некоторый выпуклый четырёхугольник нельзя вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон не равны».
Для теоремы «если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.
Рассмотрим множество \(M\) всех выпуклых четырёхугольников и два заданных на нём предиката: \(P(F) \equiv \{\text{суммы противолежащих сторон четырёхугольника } F \text{ равны}\}\) — условие теоремы, и \(Q(F) \equiv \{\text{в четырёхугольник } F \text{ можно вписать окружность}\}\) — её вывод. Данная теорема представляет собой высказывание \((\forall F \in M)\ P(F) \Rightarrow Q(F)\).
Обратная теорема имеет вид \((\forall F \in M)\ Q(F) \Rightarrow P(F)\): условие и вывод меняются местами. Её формулировка: если в некоторый выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.
Противоположная теорема имеет вид \((\forall F \in M)\ \overline{P(F)} \Rightarrow \overline{Q(F)}\): и условие, и вывод заменяются своими отрицаниями. Её формулировка: если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон не равны, то в него нельзя вписать окружность.
Теорема, обратная противоположной, имеет вид \((\forall F \in M)\ \overline{Q(F)} \Rightarrow \overline{P(F)}\). Её формулировка: если в некоторый выпуклый четырёхугольник нельзя вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон не равны.
Ответ: обратная теорема — «если в некоторый выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны»; противоположная теорема — «если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противолежащих сторон не равны, то в него нельзя вписать окружность»; теорема, обратная противоположной, — «если в некоторый выпуклый четырёхугольник нельзя вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон не равны».
