Страница 41 номер 4.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Для теоремы «если некоторое натуральное число делится нацело на 5, то его квадрат делится нацело на 25» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.
На множестве \(\mathbf{N}\) заданы предикаты \(A(n) \equiv \{n \,\vdots\, 5\}\) — условие теоремы, и \(B(n) \equiv \{n^2 \,\vdots\, 25\}\) — её вывод; данная теорема — высказывание \((\forall n \in \mathbf{N})\ A(n) \Rightarrow B(n)\).
Обратная теорема — \((\forall n \in \mathbf{N})\ B(n) \Rightarrow A(n)\): если квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25, то это число делится нацело на 5.
Противоположная теорема — \((\forall n \in \mathbf{N})\ \overline{A(n)} \Rightarrow \overline{B(n)}\): если некоторое натуральное число не делится нацело на 5, то его квадрат не делится нацело на 25.
Теорема, обратная противоположной, — \((\forall n \in \mathbf{N})\ \overline{B(n)} \Rightarrow \overline{A(n)}\): если квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25, то это число не делится нацело на 5.
Ответ: обратная теорема — «если квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25, то это число делится нацело на 5»; противоположная теорема — «если некоторое натуральное число не делится нацело на 5, то его квадрат не делится нацело на 25»; теорема, обратная противоположной, — «если квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25, то это число не делится нацело на 5».
Для теоремы «если некоторое натуральное число делится нацело на 5, то его квадрат делится нацело на 25» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.
Рассмотрим два предиката, заданных на множестве \(\mathbf{N}\): \(A(n) \equiv \{n \,\vdots\, 5\}\) — условие теоремы, и \(B(n) \equiv \{n^2 \,\vdots\, 25\}\) — её вывод. Данная теорема представляет собой высказывание \((\forall n \in \mathbf{N})\ A(n) \Rightarrow B(n)\).
Обратная теорема имеет вид \((\forall n \in \mathbf{N})\ B(n) \Rightarrow A(n)\): условие и вывод меняются местами. Её формулировка: если квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25, то это число делится нацело на 5.
Противоположная теорема имеет вид \((\forall n \in \mathbf{N})\ \overline{A(n)} \Rightarrow \overline{B(n)}\): и условие, и вывод заменяются своими отрицаниями. Её формулировка: если некоторое натуральное число не делится нацело на 5, то его квадрат не делится нацело на 25.
Теорема, обратная противоположной, имеет вид \((\forall n \in \mathbf{N})\ \overline{B(n)} \Rightarrow \overline{A(n)}\). Её формулировка: если квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25, то это число не делится нацело на 5.
Ответ: обратная теорема — «если квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25, то это число делится нацело на 5»; противоположная теорема — «если некоторое натуральное число не делится нацело на 5, то его квадрат не делится нацело на 25»; теорема, обратная противоположной, — «если квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25, то это число не делится нацело на 5».
