Страница 40 номер 4.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Укажите истинные высказывания: 1) \((\forall x \in \mathbf{R})\ |x| > x\); 2) \((\exists x \in \mathbf{R})\ |x| \leqslant 0\); 3) \((\forall n \in \mathbf{N})\ (n^2 - n) \,\vdots\, 2\).
1) При \(x = 3\) имеем \(|3| = 3\), а неравенство \(3 > 3\) неверно, значит, высказывание \((\forall x \in \mathbf{R})\ |x| > x\) ложное.
2) При \(x = 0\) имеем \(|0| = 0\), а неравенство \(0 \leqslant 0\) верно, значит, высказывание \((\exists x \in \mathbf{R})\ |x| \leqslant 0\) истинное.
3) \(n^2 - n = n(n - 1)\): при чётном \(n\) на 2 делится нацело множитель \(n\), при нечётном \(n\) — множитель \(n - 1\). В обоих случаях произведение делится нацело на 2, значит, высказывание \((\forall n \in \mathbf{N})\ (n^2 - n) \,\vdots\, 2\) истинное.
Ответ: истинными являются высказывания 2) и 3).
Укажите истинные высказывания: 1) \((\forall x \in \mathbf{R})\ |x| > x\); 2) \((\exists x \in \mathbf{R})\ |x| \leqslant 0\); 3) \((\forall n \in \mathbf{N})\ (n^2 - n) \,\vdots\, 2\).
1) Высказывание \((\forall x \in \mathbf{R})\ |x| > x\) утверждает, что неравенство \(|x| > x\) выполняется при каждом действительном значении \(x\). Но при \(x = 3\) имеем \(|3| = 3\), а неравенство \(3 > 3\) неверно. Значит, это высказывание ложное.
2) Высказывание \((\exists x \in \mathbf{R})\ |x| \leqslant 0\) утверждает, что найдётся хотя бы одно действительное число \(x\), для которого \(|x| \leqslant 0\). Такое число есть: при \(x = 0\) имеем \(|0| = 0\), а неравенство \(0 \leqslant 0\) верно. Значит, это высказывание истинное.
3) Высказывание \((\forall n \in \mathbf{N})\ (n^2 - n) \,\vdots\, 2\) утверждает, что при каждом натуральном значении \(n\) число \(n^2 - n\) делится нацело на 2.
Так как \(n^2 - n = n(n - 1)\), достаточно установить, что один из множителей чётный. Если число \(n\) чётное, то на 2 делится нацело множитель \(n\); если число \(n\) нечётное, то чётным является число \(n - 1\), и на 2 делится нацело множитель \(n - 1\). В обоих случаях произведение \(n(n - 1)\) делится нацело на 2. Значит, это высказывание истинное.
Ответ: истинными являются высказывания 2) и 3).
