Страница 40 номер 4.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Предикаты \(A(x)\), \(B(x)\) и \(C(x)\) заданы на множестве \(M\). Докажите, что: 1) \((A(x) \wedge B(x)) \wedge C(x) \equiv A(x) \wedge (B(x) \wedge C(x))\); 2) \((A(x) \vee B(x)) \vee C(x) \equiv A(x) \vee (B(x) \vee C(x))\); 3) \(A(x) \vee (B(x) \wedge C(x)) \equiv (A(x) \vee B(x)) \wedge (A(x) \vee C(x))\); 4) \(\overline{A(x) \wedge B(x)} \equiv \overline{A(x)} \vee \overline{B(x)}\); 5) \(\overline{A(x) \vee B(x)} \equiv \overline{A(x)} \wedge \overline{B(x)}\).
Предикаты равносильны, если совпадают их области истинности. Обозначим области истинности предикатов \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) соответственно \(A\), \(B\), \(C\): конъюнкции отвечает пересечение областей истинности, дизъюнкции — их объединение, отрицанию предиката с областью истинности \(A\) — множество \(M \setminus A\).
1) Слева область истинности \((A \cap B) \cap C\), справа — \(A \cap (B \cap C)\).
\(x \in (A \cap B) \cap C\) тогда и только тогда, когда \(x \in A \cap B\) и \(x \in C\), то есть когда одновременно \(x \in A\), \(x \in B\), \(x \in C\).
\(x \in A \cap (B \cap C)\) тогда и только тогда, когда \(x \in A\) и \(x \in B \cap C\), то есть снова когда одновременно \(x \in A\), \(x \in B\), \(x \in C\).
Оба множества состоят из одних и тех же элементов, значит, \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) и предикаты равносильны.
2) Слева область истинности \((A \cup B) \cup C\), справа — \(A \cup (B \cup C)\).
\(x \in (A \cup B) \cup C\) тогда и только тогда, когда \(x \in A \cup B\) или \(x \in C\), то есть когда \(x\) принадлежит хотя бы одному из множеств \(A\), \(B\), \(C\).
\(x \in A \cup (B \cup C)\) тогда и только тогда, когда \(x \in A\) или \(x \in B \cup C\), то есть снова когда \(x\) принадлежит хотя бы одному из множеств \(A\), \(B\), \(C\).
Оба множества состоят из одних и тех же элементов, значит, \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) и предикаты равносильны.
3) Слева область истинности \(A \cup (B \cap C)\), справа — \((A \cup B) \cap (A \cup C)\); докажем два включения.
Пусть \(x \in A \cup (B \cap C)\). Если \(x \in A\), то \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). Если же \(x \notin A\), то \(x \in B \cap C\), то есть \(x \in B\) и \(x \in C\), и снова \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). В обоих случаях \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), поэтому \(A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
Пусть теперь \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), то есть \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). Если \(x \in A\), то \(x \in A \cup (B \cap C)\). Если же \(x \notin A\), то \(x \in B\) и \(x \in C\), тогда \(x \in B \cap C\), а значит, \(x \in A \cup (B \cap C)\). Поэтому \((A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)\).
Из двух включений следует равенство \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\), значит, предикаты равносильны.
4) Слева область истинности \(M \setminus (A \cap B)\), справа — \((M \setminus A) \cup (M \setminus B)\).
Пусть \(x \in M\). Тогда \(x \in M \setminus (A \cap B)\) тогда и только тогда, когда неверно, что одновременно \(x \in A\) и \(x \in B\), то есть когда \(x \notin A\) или \(x \notin B\); это и означает, что \(x \in M \setminus A\) или \(x \in M \setminus B\), то есть \(x \in (M \setminus A) \cup (M \setminus B)\).
Значит, \(M \setminus (A \cap B) = (M \setminus A) \cup (M \setminus B)\) и предикаты равносильны.
5) Слева область истинности \(M \setminus (A \cup B)\), справа — \((M \setminus A) \cap (M \setminus B)\).
Пусть \(x \in M\). Тогда \(x \in M \setminus (A \cup B)\) тогда и только тогда, когда \(x\) не принадлежит ни множеству \(A\), ни множеству \(B\); это и означает, что \(x \in M \setminus A\) и \(x \in M \setminus B\), то есть \(x \in (M \setminus A) \cap (M \setminus B)\).
Значит, \(M \setminus (A \cup B) = (M \setminus A) \cap (M \setminus B)\) и предикаты равносильны.
Ответ: в каждом из пяти случаев области истинности предикатов, записанных слева и справа, состоят из одних и тех же элементов, поэтому эти предикаты равносильны.
Предикаты \(A(x)\), \(B(x)\) и \(C(x)\) заданы на множестве \(M\). Докажите, что: 1) \((A(x) \wedge B(x)) \wedge C(x) \equiv A(x) \wedge (B(x) \wedge C(x))\); 2) \((A(x) \vee B(x)) \vee C(x) \equiv A(x) \vee (B(x) \vee C(x))\); 3) \(A(x) \vee (B(x) \wedge C(x)) \equiv (A(x) \vee B(x)) \wedge (A(x) \vee C(x))\); 4) \(\overline{A(x) \wedge B(x)} \equiv \overline{A(x)} \vee \overline{B(x)}\); 5) \(\overline{A(x) \vee B(x)} \equiv \overline{A(x)} \wedge \overline{B(x)}\).
Предикаты равносильны, если совпадают их области истинности. Обозначим области истинности предикатов \(A(x)\), \(B(x)\) и \(C(x)\) соответственно \(A\), \(B\) и \(C\). Областью истинности конъюнкции служит пересечение областей истинности, областью истинности дизъюнкции — их объединение, а областью истинности отрицания предиката с областью истинности \(A\) — множество \(M \setminus A\).
1) Областью истинности предиката, записанного слева, является множество \((A \cap B) \cap C\), а справа — множество \(A \cap (B \cap C)\).
Элемент \(x\) принадлежит множеству \((A \cap B) \cap C\) тогда и только тогда, когда \(x \in A \cap B\) и \(x \in C\), то есть когда одновременно \(x \in A\), \(x \in B\) и \(x \in C\).
Элемент \(x\) принадлежит множеству \(A \cap (B \cap C)\) тогда и только тогда, когда \(x \in A\) и \(x \in B \cap C\), то есть снова когда одновременно \(x \in A\), \(x \in B\) и \(x \in C\).
Оба множества состоят из одних и тех же элементов, значит, \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\), и данные предикаты равносильны.
2) Областью истинности предиката, записанного слева, является множество \((A \cup B) \cup C\), а справа — множество \(A \cup (B \cup C)\).
Элемент \(x\) принадлежит множеству \((A \cup B) \cup C\) тогда и только тогда, когда \(x \in A \cup B\) или \(x \in C\), то есть когда \(x\) принадлежит хотя бы одному из множеств \(A\), \(B\), \(C\).
Элемент \(x\) принадлежит множеству \(A \cup (B \cup C)\) тогда и только тогда, когда \(x \in A\) или \(x \in B \cup C\), то есть снова когда \(x\) принадлежит хотя бы одному из множеств \(A\), \(B\), \(C\).
Оба множества состоят из одних и тех же элементов, значит, \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\), и данные предикаты равносильны.
3) Областью истинности предиката, записанного слева, является множество \(A \cup (B \cap C)\), а справа — множество \((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Равенство этих множеств докажем, установив два включения.
Пусть \(x \in A \cup (B \cap C)\). Если \(x \in A\), то \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). Если же \(x \notin A\), то \(x \in B \cap C\), то есть \(x \in B\) и \(x \in C\), и снова \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). В обоих случаях \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), поэтому \(A \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
Пусть теперь \(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), то есть \(x \in A \cup B\) и \(x \in A \cup C\). Если \(x \in A\), то \(x \in A \cup (B \cap C)\). Если же \(x \notin A\), то из условия \(x \in A \cup B\) следует, что \(x \in B\), а из условия \(x \in A \cup C\) следует, что \(x \in C\); тогда \(x \in B \cap C\), а значит, \(x \in A \cup (B \cap C)\). Поэтому \((A \cup B) \cap (A \cup C) \subset A \cup (B \cap C)\).
Из двух включений следует равенство \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\), и данные предикаты равносильны.
4) Областью истинности предиката, записанного слева, является множество \(M \setminus (A \cap B)\), а справа — множество \((M \setminus A) \cup (M \setminus B)\).
Элемент \(x\) множества \(M\) принадлежит множеству \(M \setminus (A \cap B)\) тогда и только тогда, когда \(x \notin A \cap B\), то есть когда неверно, что одновременно \(x \in A\) и \(x \in B\). Это означает, что \(x \notin A\) или \(x \notin B\), то есть \(x \in M \setminus A\) или \(x \in M \setminus B\), а это и есть принадлежность элемента \(x\) множеству \((M \setminus A) \cup (M \setminus B)\).
Значит, \(M \setminus (A \cap B) = (M \setminus A) \cup (M \setminus B)\), и данные предикаты равносильны.
5) Областью истинности предиката, записанного слева, является множество \(M \setminus (A \cup B)\), а справа — множество \((M \setminus A) \cap (M \setminus B)\).
Элемент \(x\) множества \(M\) принадлежит множеству \(M \setminus (A \cup B)\) тогда и только тогда, когда \(x \notin A \cup B\), то есть когда \(x\) не принадлежит ни множеству \(A\), ни множеству \(B\). Это означает, что \(x \in M \setminus A\) и \(x \in M \setminus B\), а это и есть принадлежность элемента \(x\) множеству \((M \setminus A) \cap (M \setminus B)\).
Значит, \(M \setminus (A \cup B) = (M \setminus A) \cap (M \setminus B)\), и данные предикаты равносильны.
Ответ: в каждом из пяти случаев области истинности предикатов, записанных слева и справа, состоят из одних и тех же элементов, поэтому эти предикаты равносильны.
