Страница 39 номер 4.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Среди данных утверждений укажите предикаты: 1) число \((n + 1)^2 - 1\) — составное, \(n \in \mathbf{N}\); 2) для любого \(x \in \mathbf{R}\) выполняется равенство \(x^2 + x + 1 = 0\); 3) модуль действительного числа \(x\) больше нуля; 4) неверно, что \(n \,\vdots\, 5\), \(n \in \mathbf{N}\); 5) существует такое целое число \(x\), что число 1 является его делителем.
1) Утверждение зависит от \(n\): при \(n = 1\) число \((1 + 1)^2 - 1 = 3\) простое и высказывание ложно, при \(n = 2\) число \((2 + 1)^2 - 1 = 8\) составное и высказывание истинно. Это предикат.
2) Переменная \(x\) связана квантором общности «для любого \(x \in \mathbf{R}\)», поэтому подставить вместо неё значение нельзя. Это высказывание, причём ложное: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\), и \(D < 0\), действительных корней нет. Это не предикат.
3) Утверждение \(|x| > 0\) зависит от \(x\): при \(x = 3\) оно истинно, при \(x = 0\) ложно. Это предикат.
4) Утверждение зависит от \(n\): при \(n = 5\) оно ложно, при \(n = 7\) истинно. Это предикат.
5) Переменная \(x\) связана квантором существования «существует такое целое число \(x\)». Это высказывание, причём истинное: например, число 1 является делителем числа 6. Это не предикат.
Ответ: предикатами являются утверждения 1), 3) и 4).
Среди данных утверждений укажите предикаты: 1) число \((n + 1)^2 - 1\) — составное, \(n \in \mathbf{N}\); 2) для любого \(x \in \mathbf{R}\) выполняется равенство \(x^2 + x + 1 = 0\); 3) модуль действительного числа \(x\) больше нуля; 4) неверно, что \(n \,\vdots\, 5\), \(n \in \mathbf{N}\); 5) существует такое целое число \(x\), что число 1 является его делителем.
Утверждение является предикатом, если оно зависит от переменной: при одних её значениях превращается в истинное высказывание, а при других — в ложное. Если же переменная связана квантором общности или существования, то утверждение от неё уже не зависит — это высказывание, а не предикат.
1) Утверждение зависит от \(n\). При \(n = 1\) получаем число \((1 + 1)^2 - 1 = 3\) — оно простое, и высказывание ложно. При \(n = 2\) получаем число \((2 + 1)^2 - 1 = 8\) — оно составное, и высказывание истинно. Значит, это утверждение — предикат.
2) Переменная \(x\) связана квантором общности «для любого \(x \in \mathbf{R}\)», поэтому подставить вместо неё значение уже нельзя. Это высказывание, причём ложное: уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3\) и \(D < 0\). Значит, предикатом это утверждение не является.
3) Утверждение \(|x| > 0\) зависит от \(x\): при \(x = 3\) оно истинно, а при \(x = 0\) ложно. Значит, это утверждение — предикат.
4) Утверждение зависит от \(n\): при \(n = 5\) оно ложно, а при \(n = 7\) истинно. Значит, это утверждение — предикат.
5) Переменная \(x\) связана квантором существования «существует такое целое число \(x\)». Это высказывание, причём истинное: например, число 1 является делителем числа 6. Значит, предикатом это утверждение не является.
Ответ: предикатами являются утверждения 1), 3) и 4).
