Вопросы после параграфа §4 на странице 39, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Как называют утверждения, зависящие от переменных? 2. Перечислите основные операции над предикатами. 3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования? 4. Перечислите виды теорем.
Утверждение с переменной само по себе высказыванием не является: при одних значениях переменной оно истинно, при других ложно. Например, \(\{n \text{ — простое число}\}\) при \(n = 2\) даёт истинное высказывание, а при \(n = 4\) — ложное.
Такие утверждения называют предикатами и обозначают \(A(n)\), \(B(x)\), \(C(x;\ y)\), указывая в скобках переменные, от которых утверждение зависит.
Ответ: утверждения, зависящие от переменных, называют предикатами.
Пусть предикаты \(A(x)\) и \(B(x)\) заданы на множестве \(M\), а \(A\) и \(B\) — их области истинности.
Конъюнкция \(A(x) \wedge B(x)\) — предикат с областью истинности \(A \cap B\).
Дизъюнкция \(A(x) \vee B(x)\) — предикат с областью истинности \(A \cup B\).
Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) — предикат, ложный для тех и только тех элементов множества \(M\), для которых \(A(x)\) истинен, а \(B(x)\) ложен.
Эквивалентность \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — предикат, истинный для тех и только тех элементов множества \(M\), для которых оба предиката истинны или оба ложны.
Отрицание \(\overline{A(x)}\) — предикат с областью истинности \(M \setminus A\).
Например, конъюнкция заданных на \(\mathbf{R}\) предикатов \(A(x) \equiv \{x > 5\}\) и \(B(x) \equiv \{x \leqslant 7\}\) — это система \(\begin{cases} x > 5, \\ x \leqslant 7, \end{cases}\) с областью истинности \((5;\ 7]\).
Ответ: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание.
Запись \((\forall x \in M)\ A(x)\) означает, что предикат \(A(x)\) превращается в истинное высказывание для всех элементов множества \(M\), а запись \((\exists x \in M)\ A(x)\) — что хотя бы для одного элемента.
Квантор общности \(\forall\) заменяет словосочетания «для произвольного», «для любого», «для каждого»; квантор существования \(\exists\) — слова «существует», «найдётся», «хотя бы для одного».
Например, \((\forall x \in \mathbf{R})\ x^2 \geqslant 0\) читают: «для любого действительного числа \(x\) выполняется неравенство \(x^2 \geqslant 0\)», а \((\exists x \in \mathbf{R})\ x^2 = 4\) — «существует такое действительное число \(x\), что \(x^2 = 4\)».
Ответ: квантор общности \(\forall\) заменяет словосочетания «для произвольного», «для любого», «для каждого»; квантор существования \(\exists\) заменяет слова «существует», «найдётся», «хотя бы для одного».
Прямая теорема — \((\forall x \in M)\ A(x) \Rightarrow B(x)\), где \(A(x)\) — условие, \(B(x)\) — вывод, а описание элементов множества \(M\) — разъяснительная часть.
Обратная теорема — \((\forall x \in M)\ B(x) \Rightarrow A(x)\): условие и вывод меняются местами.
Противоположная теорема — \((\forall x \in M)\ \overline{A(x)} \Rightarrow \overline{B(x)}\): и условие, и вывод заменяются своими отрицаниями.
Теорема, обратная противоположной, — \((\forall x \in M)\ \overline{B(x)} \Rightarrow \overline{A(x)}\); она логически эквивалентна прямой, и на этом основан метод доказательства от противного.
Если прямая и обратная теоремы верны одновременно, то каждый из предикатов \(A(x)\) и \(B(x)\) является необходимым и достаточным условием для другого, истинно высказывание \((\forall x \in M)\ A(x) \Leftrightarrow B(x)\), и такую теорему называют критерием.
Ответ: прямая теорема \((\forall x \in M)\ A(x) \Rightarrow B(x)\), обратная ей \((\forall x \in M)\ B(x) \Rightarrow A(x)\), противоположная \((\forall x \in M)\ \overline{A(x)} \Rightarrow \overline{B(x)}\) и обратная противоположной \((\forall x \in M)\ \overline{B(x)} \Rightarrow \overline{A(x)}\), а также критерий \((\forall x \in M)\ A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — теорема, объединяющая верные прямую и обратную.
1. Как называют утверждения, зависящие от переменных? 2. Перечислите основные операции над предикатами. 3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования? 4. Перечислите виды теорем.
Утверждение, содержащее переменную, само по себе высказыванием не является: при одних значениях переменной оно превращается в истинное высказывание, а при других — в ложное.
Например, утверждение \(\{n \text{ — простое число}\}\) при \(n = 2\) даёт истинное высказывание, а при \(n = 4\) — ложное.
Такие утверждения называют предикатами и обозначают \(A(n)\), \(B(x)\), \(C(x;\ y)\), указывая в скобках переменные, от которых утверждение зависит.
Ответ: утверждения, зависящие от переменных, называют предикатами.
Пусть предикаты \(A(x)\) и \(B(x)\) заданы на множестве \(M\), а \(A\) и \(B\) — их области истинности.
Конъюнкция \(A(x) \wedge B(x)\) — предикат, областью истинности которого является множество \(A \cap B\).
Дизъюнкция \(A(x) \vee B(x)\) — предикат, областью истинности которого является множество \(A \cup B\).
Импликация \(A(x) \Rightarrow B(x)\) — предикат, который превращается в ложное высказывание для тех и только тех элементов множества \(M\), для которых \(A(x)\) становится истинным высказыванием, а \(B(x)\) — ложным.
Эквивалентность \(A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — предикат, который превращается в истинное высказывание для тех и только тех элементов множества \(M\), для которых оба предиката истинны или оба ложны.
Отрицание \(\overline{A(x)}\) — предикат, областью истинности которого является множество \(M \setminus A\).
Например, если на множестве \(\mathbf{R}\) заданы предикаты \(A(x) \equiv \{x > 5\}\) и \(B(x) \equiv \{x \leqslant 7\}\), то их конъюнкция представляет собой систему \(\begin{cases} x > 5, \\ x \leqslant 7, \end{cases}\) областью истинности которой является промежуток \((5;\ 7]\).
Ответ: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание.
Запись \((\forall x \in M)\ A(x)\) означает, что предикат \(A(x)\) превращается в истинное высказывание для всех элементов множества \(M\), а запись \((\exists x \in M)\ A(x)\) — что он превращается в истинное высказывание хотя бы для одного элемента множества \(M\).
Квантор общности \(\forall\) заменяет в словесных формулировках словосочетания «для произвольного», «для любого», «для каждого».
Квантор существования \(\exists\) заменяет слова «существует», «найдётся», «хотя бы для одного».
Например, запись \((\forall x \in \mathbf{R})\ x^2 \geqslant 0\) читают так: «для любого действительного числа \(x\) выполняется неравенство \(x^2 \geqslant 0\)», а запись \((\exists x \in \mathbf{R})\ x^2 = 4\) — так: «существует такое действительное число \(x\), что \(x^2 = 4\)».
Ответ: квантор общности \(\forall\) заменяет словосочетания «для произвольного», «для любого», «для каждого»; квантор существования \(\exists\) заменяет слова «существует», «найдётся», «хотя бы для одного».
Большинство школьных теорем имеет вид \((\forall x \in M)\ A(x) \Rightarrow B(x)\), где предикат \(A(x)\) — условие теоремы, предикат \(B(x)\) — её вывод, а описание элементов множества \(M\) — разъяснительная часть. Такую теорему называют прямой.
Обратная теорема — \((\forall x \in M)\ B(x) \Rightarrow A(x)\): условие и вывод меняются местами.
Противоположная теорема — \((\forall x \in M)\ \overline{A(x)} \Rightarrow \overline{B(x)}\): и условие, и вывод заменяются своими отрицаниями.
Теорема, обратная противоположной, — \((\forall x \in M)\ \overline{B(x)} \Rightarrow \overline{A(x)}\). Она логически эквивалентна прямой теореме, и именно на этом основан метод доказательства от противного.
Если прямая и обратная теоремы верны одновременно, то каждый из предикатов \(A(x)\) и \(B(x)\) является необходимым и достаточным условием для другого. Тогда истинно высказывание \((\forall x \in M)\ A(x) \Leftrightarrow B(x)\); теоремы такого вида называют критериями.
Ответ: прямая теорема \((\forall x \in M)\ A(x) \Rightarrow B(x)\), обратная ей \((\forall x \in M)\ B(x) \Rightarrow A(x)\), противоположная \((\forall x \in M)\ \overline{A(x)} \Rightarrow \overline{B(x)}\) и обратная противоположной \((\forall x \in M)\ \overline{B(x)} \Rightarrow \overline{A(x)}\), а также критерий \((\forall x \in M)\ A(x) \Leftrightarrow B(x)\) — теорема, объединяющая верные прямую и обратную.
