Страница 28 номер 3.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Пусть \(f\) — функция истинности, \(A\) и \(B\) — некоторые высказывания, причём \(f(\overline{A}) = 1\). Найдите, где это возможно, значение функции \(f\): 1) \(f(A \wedge B)\); 2) \(f(A \vee B)\); 3) \(f(A \Rightarrow B)\); 4) \(f(A \Leftrightarrow B)\).
Из \(f(\overline{A}) = 1\) получаем \(f(A) = 0\); о высказывании \(B\) ничего не известно, поэтому там, где значение зависит от \(B\), разбираем оба случая.
1) Высказывание \(A\) ложно, поэтому \(f(A \wedge B) = 0\) при любом \(B\).
2) При \(f(B) = 1\) истинно хотя бы одно из высказываний: \(f(A \vee B) = 1\); при \(f(B) = 0\) оба ложны: \(f(A \vee B) = 0\). Значение \(f(A \vee B)\) определить невозможно.
3) Условие \(A\) ложно, поэтому импликация истинна при любом \(B\): \(f(A \Rightarrow B) = 1\).
4) При \(f(B) = 1\) одно высказывание ложно, а другое истинно: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\); при \(f(B) = 0\) оба ложны: \(f(A \Leftrightarrow B) = 1\). Значение \(f(A \Leftrightarrow B)\) определить невозможно.
Ответ: 1) \(f(A \wedge B) = 0\); 2) определить невозможно; 3) \(f(A \Rightarrow B) = 1\); 4) определить невозможно.
Пусть \(f\) — функция истинности, \(A\) и \(B\) — некоторые высказывания, причём \(f(\overline{A}) = 1\). Найдите, где это возможно, значение функции \(f\): 1) \(f(A \wedge B)\); 2) \(f(A \vee B)\); 3) \(f(A \Rightarrow B)\); 4) \(f(A \Leftrightarrow B)\).
По условию \(f(\overline{A}) = 1\), то есть высказывание \(\overline{A}\) истинно. Отрицание истинно тогда, когда само высказывание ложно, поэтому \(f(A) = 0\). О высказывании \(B\) ничего не известно, поэтому там, где значение зависит от \(B\), надо рассмотреть оба случая: \(f(B) = 1\) и \(f(B) = 0\).
1) Конъюнкция ложна, если хотя бы одно из высказываний ложно. Высказывание \(A\) ложно, поэтому при любом \(B\) получаем \(f(A \wedge B) = 0\).
2) При \(f(B) = 1\) истинно хотя бы одно из высказываний, поэтому \(f(A \vee B) = 1\). При \(f(B) = 0\) оба высказывания ложны, поэтому \(f(A \vee B) = 0\). Значение \(f(A \vee B)\) определить невозможно.
3) Импликация ложна только тогда, когда её условие истинно, а вывод ложен. Условие \(A\) ложно, поэтому при любом \(B\) импликация истинна: \(f(A \Rightarrow B) = 1\).
4) При \(f(B) = 1\) одно высказывание ложно, а другое истинно, поэтому \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\). При \(f(B) = 0\) оба высказывания ложны, поэтому \(f(A \Leftrightarrow B) = 1\). Значение \(f(A \Leftrightarrow B)\) определить невозможно.
Ответ: 1) \(f(A \wedge B) = 0\); 2) определить невозможно; 3) \(f(A \Rightarrow B) = 1\); 4) определить невозможно.
