Страница 28 номер 3.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Пусть \(f\) — функция истинности, \(A\) и \(B\) — некоторые высказывания, причём \(f(A) = 1\). Найдите, где это возможно, значение функции \(f\): 1) \(f(A \vee B)\); 2) \(f(A \Rightarrow B)\); 3) \(f(A \Leftrightarrow B)\); 4) \(f(\overline{A})\).
\(f(A) = 1\); о высказывании \(B\) ничего не известно, поэтому там, где значение зависит от \(B\), разбираем оба случая.
1) Высказывание \(A\) истинно, поэтому \(f(A \vee B) = 1\) при любом \(B\).
2) Условие импликации истинно: при \(f(B) = 1\) получаем \(f(A \Rightarrow B) = 1\), а при \(f(B) = 0\) получаем \(f(A \Rightarrow B) = 0\). Значение \(f(A \Rightarrow B)\) определить невозможно.
3) При \(f(B) = 1\) оба высказывания истинны: \(f(A \Leftrightarrow B) = 1\); при \(f(B) = 0\) одно истинно, а другое ложно: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\). Значение \(f(A \Leftrightarrow B)\) определить невозможно.
4) Отрицание истинного высказывания ложно: \(f(\overline{A}) = 0\).
Ответ: 1) \(f(A \vee B) = 1\); 2) определить невозможно; 3) определить невозможно; 4) \(f(\overline{A}) = 0\).
Пусть \(f\) — функция истинности, \(A\) и \(B\) — некоторые высказывания, причём \(f(A) = 1\). Найдите, где это возможно, значение функции \(f\): 1) \(f(A \vee B)\); 2) \(f(A \Rightarrow B)\); 3) \(f(A \Leftrightarrow B)\); 4) \(f(\overline{A})\).
По условию \(f(A) = 1\), то есть высказывание \(A\) истинно. О высказывании \(B\) ничего не известно, поэтому там, где значение зависит от \(B\), надо рассмотреть оба случая: \(f(B) = 1\) и \(f(B) = 0\).
1) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Высказывание \(A\) истинно, поэтому при любом \(B\) получаем \(f(A \vee B) = 1\).
2) Условие импликации \(A \Rightarrow B\) истинно. При \(f(B) = 1\) импликация истинна, то есть \(f(A \Rightarrow B) = 1\), а при \(f(B) = 0\) импликация ложна, то есть \(f(A \Rightarrow B) = 0\). Значение \(f(A \Rightarrow B)\) определить невозможно.
3) При \(f(B) = 1\) оба высказывания истинны, поэтому \(f(A \Leftrightarrow B) = 1\). При \(f(B) = 0\) одно высказывание истинно, а другое ложно, поэтому \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\). Значение \(f(A \Leftrightarrow B)\) определить невозможно.
4) Отрицание истинного высказывания ложно, поэтому \(f(\overline{A}) = 0\).
Ответ: 1) \(f(A \vee B) = 1\); 2) определить невозможно; 3) определить невозможно; 4) \(f(\overline{A}) = 0\).
