Страница 28 номер 3.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Даны два высказывания: \[\begin{gathered} A \equiv \{2 = 3\}, \\ B \equiv \{2 \text{ — простое число}\}. \end{gathered}\] Определите, истинным или ложным является высказывание: 1) \(A \wedge B\); 2) \(A \vee B\); 3) \(A \Rightarrow B\); 4) \(A \Leftrightarrow B\); 5) \(\overline{A}\); 6) \(\overline{B}\).
Равенство \(2 = 3\) неверное, поэтому \(f(A) = 0\). Число 2 делится нацело только на 1 и на само себя, то есть простое, поэтому \(f(B) = 1\).
1) Конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, а \(f(A) = 0\): \(f(A \wedge B) = 0\).
2) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, а \(f(B) = 1\): \(f(A \vee B) = 1\).
3) Импликация ложна только тогда, когда условие истинно, а вывод ложен; здесь условие \(A\) ложно: \(f(A \Rightarrow B) = 1\).
4) Одно высказывание истинно, а другое ложно: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\).
5) Отрицание ложного высказывания истинно: \(f(\overline{A}) = 1\).
6) Отрицание истинного высказывания ложно: \(f(\overline{B}) = 0\).
Ответ: 1) \(A \wedge B\) — ложно; 2) \(A \vee B\) — истинно; 3) \(A \Rightarrow B\) — истинно; 4) \(A \Leftrightarrow B\) — ложно; 5) \(\overline{A}\) — истинно; 6) \(\overline{B}\) — ложно.
Даны два высказывания: \[\begin{gathered} A \equiv \{2 = 3\}, \\ B \equiv \{2 \text{ — простое число}\}. \end{gathered}\] Определите, истинным или ложным является высказывание: 1) \(A \wedge B\); 2) \(A \vee B\); 3) \(A \Rightarrow B\); 4) \(A \Leftrightarrow B\); 5) \(\overline{A}\); 6) \(\overline{B}\).
Равенство \(2 = 3\) неверное, поэтому высказывание \(A\) ложно: \(f(A) = 0\). Число 2 делится нацело только на 1 и на само себя, поэтому оно простое и высказывание \(B\) истинно: \(f(B) = 1\).
1) Конъюнкция ложна, если хотя бы одно из высказываний ложно. Так как \(f(A) = 0\), высказывание \(A \wedge B\) ложное: \(f(A \wedge B) = 0\).
2) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Так как \(f(B) = 1\), высказывание \(A \vee B\) истинное: \(f(A \vee B) = 1\).
3) Импликация ложна только тогда, когда её условие истинно, а вывод ложен. Здесь условие \(A\) ложно, поэтому высказывание \(A \Rightarrow B\) истинное: \(f(A \Rightarrow B) = 1\).
4) Эквивалентность ложна, если одно из высказываний истинно, а другое ложно. Именно так и есть, поэтому высказывание \(A \Leftrightarrow B\) ложное: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\).
5) Отрицание ложного высказывания истинно, поэтому высказывание \(\overline{A}\) истинное: \(f(\overline{A}) = 1\).
6) Отрицание истинного высказывания ложно, поэтому высказывание \(\overline{B}\) ложное: \(f(\overline{B}) = 0\).
Ответ: 1) \(A \wedge B\) — ложно; 2) \(A \vee B\) — истинно; 3) \(A \Rightarrow B\) — истинно; 4) \(A \Leftrightarrow B\) — ложно; 5) \(\overline{A}\) — истинно; 6) \(\overline{B}\) — ложно.
