Страница 28 номер 3.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Даны два высказывания: \[\begin{gathered} A \equiv \{5 < 6\}, \\ B \equiv \{6 \text{ — простое число}\}. \end{gathered}\] Определите, истинным или ложным является высказывание: 1) \(A \wedge B\); 2) \(A \vee B\); 3) \(A \Rightarrow B\); 4) \(A \Leftrightarrow B\); 5) \(\overline{A}\); 6) \(\overline{B}\).
Неравенство \(5 < 6\) верное, поэтому \(f(A) = 1\). Число 6 делится не только на 1 и на 6, но и на 2, и на 3, то есть составное, поэтому \(f(B) = 0\).
1) Конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, а \(f(B) = 0\): \(f(A \wedge B) = 0\).
2) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний, а \(f(A) = 1\): \(f(A \vee B) = 1\).
3) Условие \(A\) истинно, а вывод \(B\) ложен: \(f(A \Rightarrow B) = 0\).
4) Одно высказывание истинно, а другое ложно: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\).
5) Отрицание истинного высказывания ложно: \(f(\overline{A}) = 0\).
6) Отрицание ложного высказывания истинно: \(f(\overline{B}) = 1\).
Ответ: 1) \(A \wedge B\) — ложно; 2) \(A \vee B\) — истинно; 3) \(A \Rightarrow B\) — ложно; 4) \(A \Leftrightarrow B\) — ложно; 5) \(\overline{A}\) — ложно; 6) \(\overline{B}\) — истинно.
Даны два высказывания: \[\begin{gathered} A \equiv \{5 < 6\}, \\ B \equiv \{6 \text{ — простое число}\}. \end{gathered}\] Определите, истинным или ложным является высказывание: 1) \(A \wedge B\); 2) \(A \vee B\); 3) \(A \Rightarrow B\); 4) \(A \Leftrightarrow B\); 5) \(\overline{A}\); 6) \(\overline{B}\).
Неравенство \(5 < 6\) верное, поэтому высказывание \(A\) истинно: \(f(A) = 1\). Число 6 делится не только на 1 и на 6, но и на 2, и на 3, поэтому оно составное и высказывание \(B\) ложно: \(f(B) = 0\).
1) Конъюнкция ложна, если хотя бы одно из высказываний ложно. Так как \(f(B) = 0\), высказывание \(A \wedge B\) ложное: \(f(A \wedge B) = 0\).
2) Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Так как \(f(A) = 1\), высказывание \(A \vee B\) истинное: \(f(A \vee B) = 1\).
3) Импликация ложна, если её условие истинно, а вывод ложен. Здесь условие \(A\) истинно, а вывод \(B\) ложен, поэтому высказывание \(A \Rightarrow B\) ложное: \(f(A \Rightarrow B) = 0\).
4) Эквивалентность ложна, если одно из высказываний истинно, а другое ложно. Именно так и есть, поэтому высказывание \(A \Leftrightarrow B\) ложное: \(f(A \Leftrightarrow B) = 0\).
5) Отрицание истинного высказывания ложно, поэтому высказывание \(\overline{A}\) ложное: \(f(\overline{A}) = 0\).
6) Отрицание ложного высказывания истинно, поэтому высказывание \(\overline{B}\) истинное: \(f(\overline{B}) = 1\).
Ответ: 1) \(A \wedge B\) — ложно; 2) \(A \vee B\) — истинно; 3) \(A \Rightarrow B\) — ложно; 4) \(A \Leftrightarrow B\) — ложно; 5) \(\overline{A}\) — ложно; 6) \(\overline{B}\) — истинно.
