Страница 30 номер 3.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Выразите операцию конъюнкции через операции дизъюнкции и отрицания.
Конъюнкция \(A \wedge B\) ложна тогда и только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний \(A\), \(B\), то есть когда истинно \(\overline{A} \vee \overline{B}\); значит, \(A \wedge B\) истинно ровно тогда, когда \(\overline{A} \vee \overline{B}\) ложно, и
\[A \wedge B = \overline{\overline{A} \vee \overline{B}}.\] \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \wedge B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \vee \overline{B} & \overline{\overline{A} \vee \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
Ответ: \(A \wedge B = \overline{\overline{A} \vee \overline{B}}\).
Выразите операцию конъюнкции через операции дизъюнкции и отрицания.
Конъюнкция \(A \wedge B\) ложна тогда и только тогда, когда ложно хотя бы одно из высказываний \(A\), \(B\), то есть тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(\overline{A} \vee \overline{B}\). Значит, \(A \wedge B\) истинно ровно в тех случаях, когда \(\overline{A} \vee \overline{B}\) ложно, поэтому
\[A \wedge B = \overline{\overline{A} \vee \overline{B}}.\]
Проверим это равенство таблицей истинности:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \wedge B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \vee \overline{B} & \overline{\overline{A} \vee \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \wedge B\) и \(\overline{\overline{A} \vee \overline{B}}\) совпадают, значит, равенство верно.
Ответ: \(A \wedge B = \overline{\overline{A} \vee \overline{B}}\).
