Страница 30 номер 3.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Через операции конъюнкции и отрицания выразите операцию: 1) дизъюнкции; 2) импликации.
1) Дизъюнкция \(A \vee B\) ложна только тогда, когда оба высказывания ложны, то есть когда истинно \(\overline{A} \wedge \overline{B}\); значит, \(A \vee B\) истинно ровно тогда, когда \(\overline{A} \wedge \overline{B}\) ложно, и
\[A \vee B = \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}.\] \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \vee B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} & \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
2) Импликация \(A \Rightarrow B\) ложна только тогда, когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно, то есть когда истинно \(A \wedge \overline{B}\); значит, \(A \Rightarrow B\) истинно ровно тогда, когда \(A \wedge \overline{B}\) ложно, и
\[A \Rightarrow B = \overline{A \wedge \overline{B}}.\] \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & \overline{B} & A \wedge \overline{B} & \overline{A \wedge \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
Ответ: 1) \(A \vee B = \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}\); 2) \(A \Rightarrow B = \overline{A \wedge \overline{B}}\).
Через операции конъюнкции и отрицания выразите операцию: 1) дизъюнкции; 2) импликации.
1) Дизъюнкция \(A \vee B\) ложна только тогда, когда оба высказывания \(A\) и \(B\) ложны, то есть когда истинно высказывание \(\overline{A} \wedge \overline{B}\). Значит, \(A \vee B\) истинно ровно в тех случаях, когда \(\overline{A} \wedge \overline{B}\) ложно, поэтому
\[A \vee B = \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}.\]
Проверим это равенство таблицей истинности:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \vee B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} & \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \vee B\) и \(\overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}\) совпадают, значит, равенство верно.
2) Импликация \(A \Rightarrow B\) ложна только тогда, когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно, то есть когда истинно высказывание \(A \wedge \overline{B}\). Значит, \(A \Rightarrow B\) истинно ровно в тех случаях, когда \(A \wedge \overline{B}\) ложно, поэтому
\[A \Rightarrow B = \overline{A \wedge \overline{B}}.\]
Проверим это равенство таблицей истинности:
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & \overline{B} & A \wedge \overline{B} & \overline{A \wedge \overline{B}} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \Rightarrow B\) и \(\overline{A \wedge \overline{B}}\) совпадают, значит, равенство верно.
Ответ: 1) \(A \vee B = \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}\); 2) \(A \Rightarrow B = \overline{A \wedge \overline{B}}\).
