Страница 30 номер 3.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что логическое выражение является тавтологией: 1) \(A \Rightarrow A\); 2) \(\overline{A \wedge \overline{A}}\); 3) \(A \wedge \overline{A} \Rightarrow B\); 4) \(A \Rightarrow (B \Rightarrow A)\); 5) \((A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)\); 6) \(A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B\); 7) \(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}\); 8) \(((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)\).
1) \(A \Rightarrow A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \Rightarrow A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
2) \(\overline{A \wedge \overline{A}}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & \overline{A} & A \wedge \overline{A} & \overline{A \wedge \overline{A}} \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
3) \(A \wedge \overline{A} \Rightarrow B\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & \overline{A} & A \wedge \overline{A} & A \wedge \overline{A} \Rightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
4) \(A \Rightarrow (B \Rightarrow A)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & B & B \Rightarrow A & A \Rightarrow (B \Rightarrow A) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
5) \((A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A & (A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
6) \(A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & A \wedge (A \Rightarrow B) & A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
7) \(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & \overline{A} & \overline{B} & A \Rightarrow B & \overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) & \overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A} \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
8) \(((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)\). Обозначим это выражение буквой \(F\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & A \Rightarrow B & B \Rightarrow C & (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) & A \Rightarrow C & F \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений \(F\) состоит из одних единиц, значит, выражение — тавтология.
Ответ: каждое из восьми выражений истинно при любых значениях истинности высказываний \(A\), \(B\), \(C\), то есть является тавтологией.
Докажите, что логическое выражение является тавтологией: 1) \(A \Rightarrow A\); 2) \(\overline{A \wedge \overline{A}}\); 3) \(A \wedge \overline{A} \Rightarrow B\); 4) \(A \Rightarrow (B \Rightarrow A)\); 5) \((A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)\); 6) \(A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B\); 7) \(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}\); 8) \(((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)\).
Логическое выражение является тавтологией, если оно истинно при любых значениях истинности входящих в него высказываний, то есть если столбец его значений в таблице истинности состоит из одних единиц.
1) \(A \Rightarrow A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \Rightarrow A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(A \Rightarrow A\) — тавтология.
2) \(\overline{A \wedge \overline{A}}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & \overline{A} & A \wedge \overline{A} & \overline{A \wedge \overline{A}} \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(\overline{A \wedge \overline{A}}\) — тавтология.
3) \(A \wedge \overline{A} \Rightarrow B\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & \overline{A} & A \wedge \overline{A} & A \wedge \overline{A} \Rightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(A \wedge \overline{A} \Rightarrow B\) — тавтология.
4) \(A \Rightarrow (B \Rightarrow A)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & B & B \Rightarrow A & A \Rightarrow (B \Rightarrow A) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(A \Rightarrow (B \Rightarrow A)\) — тавтология.
5) \((A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A & (A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \((A \Rightarrow B) \vee (B \Rightarrow A)\) — тавтология.
6) \(A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & A \wedge (A \Rightarrow B) & A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(A \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow B\) — тавтология.
7) \(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & \overline{A} & \overline{B} & A \Rightarrow B & \overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) & \overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A} \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений состоит из одних единиц, значит, \(\overline{B} \wedge (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}\) — тавтология.
8) \(((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)\). Обозначим это выражение буквой \(F\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & A \Rightarrow B & B \Rightarrow C & (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C) & A \Rightarrow C & F \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбец значений выражения \(F\) состоит из одних единиц, значит, \(((A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C)\) — тавтология.
Ответ: каждое из восьми выражений истинно при любых значениях истинности высказываний \(A\), \(B\), \(C\), то есть является тавтологией.
