Страницы 29-30 номер 3.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что: 1) \(\overline{\overline{A}} = A\); 2) \(A \wedge A = A\); 3) \(A \vee A = A\); 4) \(A \vee B = B \vee A\); 5) \(A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C\); 6) \(A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\); 7) \(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)\); 8) \(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}\); 9) \(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}\); 10) \((A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}\); 11) \(A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\).
1) \(\overline{\overline{A}} = A\).
\[\begin{array}{c|c|c} A & \overline{A} & \overline{\overline{A}} \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
2) \(A \wedge A = A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \wedge A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
3) \(A \vee A = A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \vee A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
4) \(A \vee B = B \vee A\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & B & A \vee B & B \vee A \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Два последних столбца совпадают, значит, равенство верно.
5) \(A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \vee C & A \vee (B \vee C) & A \vee B & (A \vee B) \vee C \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
6) \(A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \vee C & A \wedge (B \vee C) & A \wedge B & A \wedge C & (A \wedge B) \vee (A \wedge C) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
7) \(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \wedge C & A \vee (B \wedge C) & A \vee B & A \vee C & (A \vee B) \wedge (A \vee C) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
8) \(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \vee B & \overline{A \vee B} & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
9) \(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \wedge B & \overline{A \wedge B} & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \vee \overline{B} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
10) \((A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{B} \Rightarrow \overline{A} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
11) \(A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \Leftrightarrow B & A \wedge B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} & (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B}) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений левой и правой частей совпадают, значит, равенство верно.
Ответ: каждое из одиннадцати равенств верно при любых значениях истинности высказываний \(A\), \(B\), \(C\).
Докажите, что: 1) \(\overline{\overline{A}} = A\); 2) \(A \wedge A = A\); 3) \(A \vee A = A\); 4) \(A \vee B = B \vee A\); 5) \(A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C\); 6) \(A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\); 7) \(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)\); 8) \(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}\); 9) \(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}\); 10) \((A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}\); 11) \(A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\).
Два логических выражения логически эквивалентны, если их столбцы значений в таблице истинности совпадают. Составим для каждого равенства таблицу истинности.
1) \(\overline{\overline{A}} = A\).
\[\begin{array}{c|c|c} A & \overline{A} & \overline{\overline{A}} \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(\overline{\overline{A}}\) и \(A\) совпадают, значит, \(\overline{\overline{A}} = A\).
2) \(A \wedge A = A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \wedge A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений совпадают, значит, \(A \wedge A = A\).
3) \(A \vee A = A\).
\[\begin{array}{c|c} A & A \vee A \\ \hline 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений совпадают, значит, \(A \vee A = A\).
4) \(A \vee B = B \vee A\).
\[\begin{array}{c|c|c|c} A & B & A \vee B & B \vee A \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Два последних столбца совпадают, значит, \(A \vee B = B \vee A\).
5) \(A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \vee C & A \vee (B \vee C) & A \vee B & (A \vee B) \vee C \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \vee (B \vee C)\) и \((A \vee B) \vee C\) совпадают, значит, \(A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C\).
6) \(A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \vee C & A \wedge (B \vee C) & A \wedge B & A \wedge C & (A \wedge B) \vee (A \wedge C) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \wedge (B \vee C)\) и \((A \wedge B) \vee (A \wedge C)\) совпадают, значит, \(A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\).
7) \(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & C & B \wedge C & A \vee (B \wedge C) & A \vee B & A \vee C & (A \vee B) \wedge (A \vee C) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \vee (B \wedge C)\) и \((A \vee B) \wedge (A \vee C)\) совпадают, значит, \(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)\).
8) \(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \vee B & \overline{A \vee B} & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(\overline{A \vee B}\) и \(\overline{A} \wedge \overline{B}\) совпадают, значит, \(\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}\).
9) \(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \wedge B & \overline{A \wedge B} & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \vee \overline{B} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(\overline{A \wedge B}\) и \(\overline{A} \vee \overline{B}\) совпадают, значит, \(\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}\).
10) \((A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{B} \Rightarrow \overline{A} \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \Rightarrow B\) и \(\overline{B} \Rightarrow \overline{A}\) совпадают, значит, \((A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}\).
11) \(A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\).
\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} A & B & A \Leftrightarrow B & A \wedge B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge \overline{B} & (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B}) \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]
Столбцы значений выражений \(A \Leftrightarrow B\) и \((A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\) совпадают, значит, \(A \Leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\overline{A} \wedge \overline{B})\).
Ответ: каждое из одиннадцати равенств верно при любых значениях истинности высказываний \(A\), \(B\), \(C\).
