Страница 29 номер 3.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Электрическая цепь между точками \(M\) и \(N\) составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.2. Рассмотрим высказывания:
\(A \equiv \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}\);
\(B \equiv \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}\).
Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности \(f\):
1) \(f(\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1\);
2) \(f(\overline{A} \vee B) = 0\);
3) \(f(A \wedge B) = 1\).
Элементы \(m\) и \(n\) соединены последовательно, поэтому цепь замкнута тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(A \wedge B\).
1) Из \(f(\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1\) получаем \(f(\overline{A}) = 1\) и \(f(\overline{B}) = 1\), то есть \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 0\); тогда \(f(A \wedge B) = 0\) — цепь не замкнута.
2) Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны, поэтому из \(f(\overline{A} \vee B) = 0\) получаем \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\), то есть \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 0\); тогда \(f(A \wedge B) = 0\) — цепь не замкнута.
3) Равенство \(f(A \wedge B) = 1\) означает, что нормально функционирует каждый из элементов \(m\), \(n\), — цепь замкнута.
Ответ: 1) нет, цепь разомкнута; 2) нет, цепь разомкнута; 3) да, цепь замкнута.
Электрическая цепь между точками \(M\) и \(N\) составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.2. Рассмотрим высказывания:
\(A \equiv \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}\);
\(B \equiv \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}\).
Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности \(f\):
1) \(f(\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1\);
2) \(f(\overline{A} \vee B) = 0\);
3) \(f(A \wedge B) = 1\).
На рисунке элементы \(m\) и \(n\) соединены последовательно: ток идёт от точки \(M\) к точке \(N\) по одному проводу через оба элемента. Поэтому цепь замкнута тогда и только тогда, когда нормально функционирует каждый из элементов \(m\), \(n\), то есть тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(A \wedge B\).
1) Конъюнкция истинна только тогда, когда истинно каждое из высказываний. Из равенства \(f(\overline{A} \wedge \overline{B}) = 1\) получаем \(f(\overline{A}) = 1\) и \(f(\overline{B}) = 1\), то есть \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 0\). Тогда \(f(A \wedge B) = 0\), и цепь не замкнута.
2) Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны. Из равенства \(f(\overline{A} \vee B) = 0\) получаем \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\), то есть \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 0\). Тогда \(f(A \wedge B) = 0\), и цепь не замкнута.
3) Из равенства \(f(A \wedge B) = 1\) следует, что нормально функционирует каждый из элементов \(m\), \(n\), поэтому цепь замкнута.
Ответ: 1) нет, цепь разомкнута; 2) нет, цепь разомкнута; 3) да, цепь замкнута.
