Страница 29 номер 3.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Электрическая цепь между точками \(M\) и \(N\) составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.1. Рассмотрим высказывания: \(A \equiv \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}\); \(B \equiv \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}\). Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности \(f\): 1) \(f(A \wedge B) = 1\); 2) \(f(A \wedge B) = 0\); 3) \(f(A \vee B) = 0\); 4) \(f(\overline{A} \wedge B) = 1\); 5) \(f(\overline{A} \vee B) = 0\).
Элементы \(m\) и \(n\) соединены параллельно, поэтому цепь замкнута тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(A \vee B\).
1) Из \(f(A \wedge B) = 1\) получаем \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 1\), тогда \(f(A \vee B) = 1\) — цепь замкнута.
2) Из \(f(A \wedge B) = 0\) не следует, какое именно высказывание ложно: при \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 0\) получаем \(f(A \vee B) = 1\) — цепь замкнута, а при \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 0\) получаем \(f(A \vee B) = 0\) — цепь разомкнута. Определить, замкнута ли цепь, невозможно.
3) Равенство \(f(A \vee B) = 0\) означает, что оба элемента неисправны, — цепь не замкнута.
4) Из \(f(\overline{A} \wedge B) = 1\) получаем \(f(\overline{A}) = 1\) и \(f(B) = 1\), то есть \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 1\); тогда \(f(A \vee B) = 1\) — цепь замкнута.
5) Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны, поэтому из \(f(\overline{A} \vee B) = 0\) получаем \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\), то есть \(f(A) = 1\); тогда \(f(A \vee B) = 1\) — цепь замкнута.
Ответ: 1) да, цепь замкнута; 2) определить невозможно; 3) нет, цепь разомкнута; 4) да, цепь замкнута; 5) да, цепь замкнута.
Электрическая цепь между точками \(M\) и \(N\) составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.1. Рассмотрим высказывания: \(A \equiv \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}\); \(B \equiv \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}\). Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности \(f\): 1) \(f(A \wedge B) = 1\); 2) \(f(A \wedge B) = 0\); 3) \(f(A \vee B) = 0\); 4) \(f(\overline{A} \wedge B) = 1\); 5) \(f(\overline{A} \vee B) = 0\).
На рисунке элементы \(m\) и \(n\) соединены параллельно: ток идёт от точки \(M\) к точке \(N\) по верхней ветви или по нижней. Поэтому цепь замкнута тогда и только тогда, когда нормально функционирует хотя бы один из элементов \(m\), \(n\), то есть тогда и только тогда, когда истинно высказывание \(A \vee B\).
1) Конъюнкция истинна только тогда, когда истинно каждое из высказываний. Из равенства \(f(A \wedge B) = 1\) получаем \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 1\). Тогда \(f(A \vee B) = 1\), и цепь замкнута.
2) Конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, а какое именно — из равенства \(f(A \wedge B) = 0\) не следует. При \(f(A) = 1\) и \(f(B) = 0\) получаем \(f(A \vee B) = 1\) — цепь замкнута, а при \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 0\) получаем \(f(A \vee B) = 0\) — цепь разомкнута. Определить, замкнута ли цепь, невозможно.
3) Равенство \(f(A \vee B) = 0\) означает, что оба элемента неисправны, поэтому цепь не замкнута.
4) Из равенства \(f(\overline{A} \wedge B) = 1\) получаем \(f(\overline{A}) = 1\) и \(f(B) = 1\), то есть \(f(A) = 0\) и \(f(B) = 1\). Тогда истинно хотя бы одно из высказываний \(A\), \(B\), поэтому \(f(A \vee B) = 1\), и цепь замкнута.
5) Дизъюнкция ложна только тогда, когда оба высказывания ложны. Из равенства \(f(\overline{A} \vee B) = 0\) получаем \(f(\overline{A}) = 0\) и \(f(B) = 0\), то есть \(f(A) = 1\). Тогда \(f(A \vee B) = 1\), и цепь замкнута.
Ответ: 1) да, цепь замкнута; 2) определить невозможно; 3) нет, цепь разомкнута; 4) да, цепь замкнута; 5) да, цепь замкнута.
