Страница 19 номер 2.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Каждому элементу множества \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\), где \(n \in \mathbf{N}\), поставили в соответствие остаток от деления этого элемента на 3. Установлено ли таким образом взаимно однозначное соответствие между множествами \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\) и \(\{0,\ 1,\ 2\}\)?
Остаток от деления числа \(n\) на 3 равен 0, 1 или 2 — разберём три случая.
Если \(n = 3k\), то \(n + 1 = 3k + 1\), \(n + 2 = 3k + 2\), а остатки чисел \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\) равны 0, 1 и 2.
Если \(n = 3k + 1\), то \(n + 1 = 3k + 2\), \(n + 2 = 3\,(k + 1)\), а остатки равны 1, 2 и 0.
Если \(n = 3k + 2\), то \(n + 1 = 3\,(k + 1)\), \(n + 2 = 3\,(k + 1) + 1\), а остатки равны 2, 0 и 1.
Три подряд идущих натуральных числа дают все три остатка, причём каждый по одному разу, поэтому соответствие взаимно однозначное.
Ответ: да, между множествами \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\) и \(\{0,\ 1,\ 2\}\) установлено взаимно однозначное соответствие.
Каждому элементу множества \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\), где \(n \in \mathbf{N}\), поставили в соответствие остаток от деления этого элемента на 3. Установлено ли таким образом взаимно однозначное соответствие между множествами \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\) и \(\{0,\ 1,\ 2\}\)?
Проверим соответствие для произвольного натурального числа \(n\). Остаток от деления числа \(n\) на 3 равен 0, 1 или 2, поэтому возможны три случая.
Если \(n = 3k\), то \(n + 1 = 3k + 1\) и \(n + 2 = 3k + 2\), а остатки чисел \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\) равны соответственно 0, 1 и 2.
Если \(n = 3k + 1\), то \(n + 1 = 3k + 2\) и \(n + 2 = 3\,(k + 1)\), а остатки равны соответственно 1, 2 и 0.
Если \(n = 3k + 2\), то \(n + 1 = 3\,(k + 1)\) и \(n + 2 = 3\,(k + 1) + 1\), а остатки равны соответственно 2, 0 и 1.
В каждом случае каждому элементу множества \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\) поставлен в соответствие единственный остаток, и каждое из чисел 0, 1, 2 оказывается соответствующим единственному элементу этого множества. Значит, три подряд идущих натуральных числа дают все три остатка, причём каждый по одному разу.
Ответ: да, между множествами \(\{n,\ n + 1,\ n + 2\}\) и \(\{0,\ 1,\ 2\}\) установлено взаимно однозначное соответствие.
