Страница 19 номер 2.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.
Каждому чётному числу \(a\) поставим в соответствие нечётное число \(a - 1\): \[\begin{array}{cccccc} 2, & 4, & 6, & \ldots, & 2n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 1, & 3, & 5, & \ldots, & 2n - 1, & \ldots \end{array}\]
Число, на единицу меньшее чётного, нечётно, поэтому каждому чётному числу отвечает единственное нечётное.
Обратно, нечётному числу \(b\) отвечает чётное число \(b + 1\), и его образ равен \((b + 1) - 1 = b\).
Соответствие взаимно однозначное, значит, множества чётных и нечётных чисел равномощны.
Ответ: соответствие \(a \leftrightarrow a - 1\) между чётными и нечётными числами взаимно однозначное, поэтому множества чётных и нечётных чисел равномощны.
Докажите, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.
Обозначим через \(A\) множество чётных чисел, а через \(B\) — множество нечётных чисел.
Каждому чётному числу \(a\) поставим в соответствие нечётное число \(a - 1\): \[\begin{array}{cccccc} 2, & 4, & 6, & \ldots, & 2n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 1, & 3, & 5, & \ldots, & 2n - 1, & \ldots \end{array}\]
Число, на единицу меньшее чётного, нечётно, поэтому каждому элементу множества \(A\) отвечает единственный элемент множества \(B\).
Обратно, каждый элемент множества \(B\) задействован: нечётному числу \(b\) отвечает единственное чётное число \(b + 1\), а его образ равен \((b + 1) - 1 = b\).
Значит, между множествами \(A\) и \(B\) установлено взаимно однозначное соответствие, а по определению это и означает, что множества чётных и нечётных чисел равномощны.
Ответ: соответствие \(a \leftrightarrow a - 1\) между чётными и нечётными числами взаимно однозначное, поэтому множества чётных и нечётных чисел равномощны.
