Страница 19 номер 2.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида \(4n + 1\) (\(n \in \mathbf{N}\)).
Каждому натуральному числу \(n\) поставим в соответствие число \(4n + 1\): \[\begin{array}{cccccc} 1, & 2, & 3, & \ldots, & n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 5, & 9, & 13, & \ldots, & 4n + 1, & \ldots \end{array}\]
Каждому числу \(n\) отвечает единственное число \(4n + 1\), а каждому числу \(m\) вида \(4n + 1\) — единственное натуральное число \(\frac{m - 1}{4}\), поэтому соответствие взаимно однозначное и множество чисел вида \(4n + 1\) счётно.
Ответ: искомое соответствие \(n \leftrightarrow 4n + 1\): натуральному числу \(n\) отвечает число \(4n + 1\), а числу \(m\) вида \(4n + 1\) — натуральное число \(\frac{m - 1}{4}\).
Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида \(4n + 1\) (\(n \in \mathbf{N}\)).
Числа вида \(4n + 1\), где \(n \in \mathbf{N}\), — это числа \(5,\ 9,\ 13,\ \ldots\)
Каждому натуральному числу \(n\) поставим в соответствие число \(4n + 1\): \[\begin{array}{cccccc} 1, & 2, & 3, & \ldots, & n, & \ldots \\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & \\ 5, & 9, & 13, & \ldots, & 4n + 1, & \ldots \end{array}\]
Каждому натуральному числу \(n\) отвечает единственное число \(4n + 1\). Обратно, каждое число \(m\) вида \(4n + 1\) задействовано: ему отвечает единственное натуральное число \(\frac{m - 1}{4}\).
Значит, между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида \(4n + 1\) установлено взаимно однозначное соответствие. Тем самым множество чисел вида \(4n + 1\) счётно.
Ответ: искомое соответствие \(n \leftrightarrow 4n + 1\): натуральному числу \(n\) отвечает число \(4n + 1\), а числу \(m\) вида \(4n + 1\) — натуральное число \(\frac{m - 1}{4}\).
