Страница 20 номер 2.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
На окружности отметили 100 точек: \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_{100}\). Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, в которых точка \(A_1\) является вершиной, или тех, в которых точка \(A_1\) не является вершиной?
Любые три или более отмеченные точки служат вершинами ровно одного многоугольника.
Каждому многоугольнику с вершиной \(A_1\), у которого не менее четырёх вершин, поставим в соответствие многоугольник, полученный исключением точки \(A_1\) из числа вершин: из \(n\)-угольника получается \((n - 1)\)-угольник, где \(n - 1 \geqslant 3\).
Разным многоугольникам отвечают разные: исходный восстанавливается добавлением точки \(A_1\).
Каждый многоугольник без вершины \(A_1\) задействован — ему отвечает многоугольник с вершиной \(A_1\) и не менее чем четырьмя вершинами.
Значит, таких многоугольников поровну; но среди многоугольников с вершиной \(A_1\) остаются ещё треугольники, например \(A_1A_2A_3\), пары у которых нет.
Ответ: больше тех многоугольников, у которых точка \(A_1\) является вершиной.
На окружности отметили 100 точек: \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_{100}\). Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, в которых точка \(A_1\) является вершиной, или тех, в которых точка \(A_1\) не является вершиной?
Все отмеченные точки лежат на окружности, поэтому любые три или более из них служат вершинами ровно одного многоугольника: многоугольник задаётся набором своих вершин.
Каждому многоугольнику, у которого точка \(A_1\) является вершиной и вершин не менее четырёх, поставим в соответствие многоугольник, полученный исключением точки \(A_1\) из числа вершин. Из \(n\)-угольника при этом получается \((n - 1)\)-угольник, где \(n - 1 \geqslant 3\), и точка \(A_1\) его вершиной не является.
Разным многоугольникам отвечают разные: исходный многоугольник восстанавливается добавлением точки \(A_1\) к набору вершин.
Каждый многоугольник, не содержащий вершины \(A_1\), задействован: добавив к его вершинам точку \(A_1\), получим многоугольник с вершиной \(A_1\), у которого вершин не менее четырёх, и именно ему этот многоугольник отвечает.
Значит, многоугольников без вершины \(A_1\) столько же, сколько многоугольников с вершиной \(A_1\), имеющих не менее четырёх вершин. Но среди многоугольников с вершиной \(A_1\) остаются ещё треугольники — например, треугольник \(A_1A_2A_3\), — и пары у них нет.
Значит, многоугольников, у которых точка \(A_1\) является вершиной, больше.
Ответ: больше тех многоугольников, у которых точка \(A_1\) является вершиной.
