Страница 20 номер 2.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Покажите, что множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой равномощны.
Пусть \(P\) — «выколотая» точка окружности. Проведём прямую, касающуюся окружности в точке, диаметрально противоположной точке \(P\); так расположить прямую можно, потому что любые две прямые совмещаются движением.
Каждой точке \(X\) окружности, отличной от точки \(P\), поставим в соответствие точку \(X_1\) пересечения луча \(PX\) с этой прямой.
Прямая \(PX\) не параллельна проведённой прямой: из прямых, проходящих через точку \(P\), параллельна ей только касательная в точке \(P\), а других общих точек с окружностью касательная не имеет. Значит, каждой точке окружности, отличной от \(P\), отвечает единственная точка прямой.
Каждая точка прямой задействована: прямая \(X_1P\) пересекает окружность ещё ровно в одной точке \(X\), отличной от \(P\).
Соответствие взаимно однозначное, значит, эти множества равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) окружности — точка \(X_1\) пересечения луча \(PX\) с прямой» взаимно однозначное, поэтому множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой \(P\) равномощны.
Покажите, что множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой равномощны.
Пусть \(P\) — «выколотая» точка окружности. Проведём прямую, касающуюся окружности в точке, диаметрально противоположной точке \(P\); расположить прямую так можно, потому что любые две прямые совмещаются движением, а движение задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами их точек.
Каждой точке \(X\) окружности, отличной от точки \(P\), поставим в соответствие точку \(X_1\), в которой луч \(PX\) пересекает эту прямую.
Прямая \(PX\) не параллельна проведённой прямой: единственная прямая, проходящая через точку \(P\) параллельно ей, — это касательная к окружности в точке \(P\), а касательная других общих точек с окружностью не имеет. Значит, луч \(PX\) пересекает прямую ровно в одной точке, и каждой точке окружности, отличной от \(P\), отвечает единственная точка прямой.
Каждая точка прямой задействована: прямая, проходящая через точку \(X_1\) и точку \(P\), пересекает окружность ещё ровно в одной точке \(X\), отличной от \(P\), и именно точке \(X\) отвечает точка \(X_1\).
Между множеством точек окружности с «выколотой» точкой и множеством точек прямой установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому эти множества равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) окружности — точка \(X_1\) пересечения луча \(PX\) с прямой» взаимно однозначное, поэтому множество точек прямой и множество точек окружности с «выколотой» точкой \(P\) равномощны.
