Вопросы после параграфа §3 на страницах 27-28, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Высказыванием называют любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Например, утверждение «Москва — столица России» истинно, а утверждение \(5 > 7\) ложно, поэтому каждое из них является высказыванием. А утверждение «число \(n\) является простым» высказыванием не является: пока не сказано, что такое \(n\), это утверждение нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным. Не является высказыванием и утверждение «поэзия Марины Цветаевой сложна для восприятия»: о его истинности или ложности говорить бессмысленно.

Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфавита, например \(A \equiv \{\text{число 2 — простое}\}\).

Ответ: высказыванием называют любое утверждение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Основных операций над высказываниями пять: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и отрицание.

Конъюнкция \(A \wedge B\) (читают «\(A\) и \(B\)») — высказывание, которое истинно, если истинно каждое из высказываний \(A\) и \(B\), и ложно, если хотя бы одно из них ложно.

Дизъюнкция \(A \vee B\) (читают «\(A\) или \(B\)») — высказывание, которое истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний \(A\), \(B\), и ложно, если они оба ложны.

Импликация \(A \Rightarrow B\) (читают «если \(A\), то \(B\)») — высказывание, которое ложно только тогда, когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Эквивалентность \(A \Leftrightarrow B\) (читают «\(A\) тогда и только тогда, когда \(B\)») — высказывание, которое истинно, если оба высказывания \(A\) и \(B\) истинны или оба ложны, и ложно, если одно из них истинно, а другое ложно.

Отрицание \(\overline{A}\) (читают «не \(A\)») — высказывание, которое истинно, если \(A\) ложно, и ложно, если \(A\) истинно.

Первые четыре операции выполняют над двумя высказываниями, отрицание — над одним.

Ответ: конъюнкция \(A \wedge B\), дизъюнкция \(A \vee B\), импликация \(A \Rightarrow B\), эквивалентность \(A \Leftrightarrow B\) и отрицание \(\overline{A}\).

Высказывания \(A\) и \(B\) называют логически эквивалентными, если они или оба истинны, или оба ложны. Записывают это так: \(A = B\).

Иными словами, \(A = B\) тогда и только тогда, когда высказывание \(A \Leftrightarrow B\) является истинным.

Чтобы установить логическую эквивалентность двух логических выражений, составляют их таблицы истинности и сравнивают столбцы значений. Например, для выражений \(A \Rightarrow B\) и \(\overline{A} \vee B\) получаем:

\[\begin{array}{c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & \overline{A} & \overline{A} \vee B \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\]

Столбцы значений совпадают, значит, \(A \Rightarrow B = \overline{A} \vee B\).

Ответ: логически эквивалентными называют высказывания, которые или оба истинны, или оба ложны; записывают \(A = B\).

Тавтологиями (или тождественно истинными выражениями) называют логические выражения, которые истинны при любых значениях истинности высказываний, из которых они образованы.

Например, составим таблицу истинности для выражения \(A \vee \overline{A}\):

\[\begin{array}{c|c|c} A & \overline{A} & A \vee \overline{A} \\ \hline 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\]

Столбец значений состоит из одних единиц, то есть \(f(A \vee \overline{A}) = 1\) при любом высказывании \(A\). Значит, выражение \(A \vee \overline{A}\) — тавтология; её называют законом исключения третьего.

Ответ: тавтологией называют логическое выражение, истинное при любых значениях истинности входящих в него высказываний; пример тавтологии — закон исключения третьего \(A \vee \overline{A}\).