Страница 20 номер 2.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Каких трёхзначных чисел больше: тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше первой и третьей, или тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей?
Пусть \(\overline{abc}\) — число, у которого \(b > a\) и \(b > c\). Так как \(b \leqslant 9\) и \(a < b\), то \(a \leqslant 8\): с цифры 9 такое число не начинается.
Поставим ему в соответствие число \(999 - \overline{abc}\): его цифры равны \(9 - a\), \(9 - b\), \(9 - c\), оно трёхзначное, так как \(9 - a \geqslant 1\), и из \(b > a\), \(b > c\) получаем \(9 - b < 9 - a\), \(9 - b < 9 - c\) — вторая цифра меньше первой и третьей.
Разным числам отвечают разные: исходное число восстанавливается однозначно.
Но задействованы не все: числу, у которого средняя цифра меньше крайних, а первая цифра равна 9, отвечало бы не трёхзначное число, например \(999 - 918 = 81\).
Значит, чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей, больше.
Ответ: больше тех чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей.
Каких трёхзначных чисел больше: тех, у которых вторая цифра в десятичной записи больше первой и третьей, или тех, у которых вторая цифра меньше первой и третьей?
Числа, у которых вторая цифра больше первой и третьей, назовём числами первого вида, а числа, у которых вторая цифра меньше первой и третьей, — числами второго вида.
Пусть \(\overline{abc}\) — число первого вида, то есть \(b > a\) и \(b > c\). Так как \(b \leqslant 9\) и \(a < b\), то \(a \leqslant 8\): ни одно число первого вида не начинается с цифры 9.
Каждому числу \(\overline{abc}\) первого вида поставим в соответствие число \(999 - \overline{abc}\). Его цифры равны \(9 - a\), \(9 - b\) и \(9 - c\), причём \(9 - a \geqslant 1\), поэтому это трёхзначное число. Из неравенств \(b > a\) и \(b > c\) получаем \(9 - b < 9 - a\) и \(9 - b < 9 - c\), то есть вторая цифра полученного числа меньше первой и третьей, и это число второго вида.
Разным числам первого вида отвечают разные числа второго вида: по числу \(999 - \overline{abc}\) исходное число восстанавливается однозначно.
Но не все числа второго вида задействованы. Числу второго вида, начинающемуся с цифры 9, отвечало бы число, не являющееся трёхзначным: например, для числа 918 второго вида получаем \(999 - 918 = 81\). Такие числа второго вида пары не имеют.
Значит, чисел второго вида больше.
Ответ: больше тех чисел, у которых вторая цифра меньше первой и третьей.
