Страница 20 номер 2.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.
\(A\), \(B\), \(C\) — множества участников, решивших соответственно первую, вторую и третью задачу.
Каждый участник решил хотя бы одну задачу, поэтому \(n\,(A \cup B \cup C) = 46\); по условию \(n\,(A \cap B) = 11\), \(n\,(B \cap C) = 8\), \(n\,(C \cap A) = 5\), \(n\,(A \cap B \cap C) = 2\).
Подставим эти значения в формулу включения-исключения: \[46 = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - 11 - 8 - 5 + 2.\]
Отсюда \[n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) = 46 + 11 + 8 + 5 - 2 = 68.\]
Половина участников — это \(46 : 2 = 23\) школьника. Если бы каждую задачу решили не более 22 школьников, то \(n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) \leqslant 3 \cdot 22 = 66\), что противоречит найденному равенству.
Значит, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\), \(n\,(B)\), \(n\,(C)\) не меньше 23.
Ответ: одну из задач решили не менее 23 участников — не менее половины из 46 школьников, что и требовалось доказать.
В олимпиаде приняли участие 46 школьников. Им были предложены 3 задачи. После подведения итогов оказалось, что каждый из участников решил хотя бы одну задачу, причём первую и вторую задачу решили 11 участников, вторую и третью — 8 участников, первую и третью — 5 участников, а все три задачи решили только 2 участника. Докажите, что одну из задач решили не менее половины участников.
Обозначим через \(A\), \(B\) и \(C\) множества участников, решивших соответственно первую, вторую и третью задачу.
Каждый участник решил хотя бы одну задачу, поэтому \(n\,(A \cup B \cup C) = 46\). По условию \(n\,(A \cap B) = 11\), \(n\,(B \cap C) = 8\), \(n\,(C \cap A) = 5\), \(n\,(A \cap B \cap C) = 2\).
Количество элементов объединения трёх множеств находят по формуле \[\begin{aligned} &n\,(A \cup B \cup C) = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - {} \\ &- n\,(A \cap B) - n\,(B \cap C) - n\,(C \cap A) + {} \\ &+ n\,(A \cap B \cap C). \end{aligned}\]
Подставим известные значения: \[46 = n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) - 11 - 8 - 5 + 2.\]
Отсюда \[n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) = 46 + 11 + 8 + 5 - 2 = 68.\]
Половина участников — это \(46 : 2 = 23\) школьника. Предположим, что каждую задачу решили менее половины участников, то есть не более 22 школьников. Тогда \(n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) \leqslant 3 \cdot 22 = 66\), что противоречит равенству \(n\,(A) + n\,(B) + n\,(C) = 68\).
Значит, хотя бы одно из чисел \(n\,(A)\), \(n\,(B)\), \(n\,(C)\) не меньше 23, то есть одну из задач решили не менее половины участников.
Ответ: одну из задач решили не менее 23 участников — не менее половины из 46 школьников, что и требовалось доказать.
