Страница 20 номер 2.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Множество \(A\) содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.
Каждому подмножеству \(B\) множества \(A\) поставим в соответствие подмножество \(C = A \setminus B\).
Множества \(B\) и \(C\) вместе содержат все элементы множества \(A\) и общих элементов не имеют, поэтому \[n\,(B) + n\,(C) = n\,(A) = 101.\]
Сумма нечётна, значит, числа \(n\,(B)\) и \(n\,(C)\) имеют разную чётность: чётному количеству элементов в \(B\) отвечает нечётное в \(C\), и наоборот.
Разным подмножествам отвечают разные: из \(A \setminus B_1 = A \setminus B_2\) следует \(B_1 = B_2\). Каждое подмножество \(C\) задействовано — ему отвечает подмножество \(B = A \setminus C\).
Соответствие взаимно однозначное, поэтому подмножеств с чётным и с нечётным количеством элементов поровну, что и требовалось доказать.
Ответ: подмножеств с чётным количеством элементов столько же, сколько подмножеств с нечётным количеством элементов, что и требовалось доказать.
Множество \(A\) содержит 101 элемент. Докажите, что количество его подмножеств, содержащих чётное количество элементов, равно количеству подмножеств, содержащих нечётное количество элементов.
Каждому подмножеству \(B\) множества \(A\) поставим в соответствие подмножество \(C = A \setminus B\).
Множество \(B\) и множество \(C\) вместе содержат все элементы множества \(A\), причём общих элементов у них нет, поэтому \[n\,(B) + n\,(C) = n\,(A) = 101.\]
Сумма \(n\,(B) + n\,(C)\) нечётна, а значит, числа \(n\,(B)\) и \(n\,(C)\) имеют разную чётность: если множество \(B\) содержит чётное количество элементов, то множество \(C\) содержит нечётное количество элементов, и наоборот.
Каждому подмножеству с чётным количеством элементов отвечает единственное подмножество с нечётным количеством элементов. Разным подмножествам отвечают разные: если \(A \setminus B_1 = A \setminus B_2\), то \(B_1 = B_2\).
Каждое подмножество с нечётным количеством элементов задействовано: подмножеству \(C\) отвечает подмножество \(B = A \setminus C\), у которого количество элементов \(101 - n\,(C)\) чётно.
Значит, между множеством подмножеств с чётным количеством элементов и множеством подмножеств с нечётным количеством элементов установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому таких подмножеств поровну.
Ответ: подмножеств с чётным количеством элементов столько же, сколько подмножеств с нечётным количеством элементов, что и требовалось доказать.
