Страница 20 номер 2.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Покажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.
Каждой точке \(X\) первой из двух концентрических окружностей с центром \(O\) поставим в соответствие точку \(X_1\) пересечения луча \(OX\) со второй окружностью.
Луч, выходящий из центра, пересекает каждую окружность ровно в одной точке, поэтому каждой точке \(X\) отвечает единственная точка \(X_1\), а каждой точке \(X_1\) — единственная точка \(X\) на луче \(OX_1\).
Соответствие взаимно однозначное, поэтому множества точек концентрических окружностей равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) одной окружности — точка \(X_1\) пересечения луча \(OX\) со второй окружностью» взаимно однозначное, поэтому множества точек любых двух концентрических окружностей равномощны.
Покажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.
Пусть даны две концентрические окружности с общим центром \(O\).
Каждой точке \(X\) первой окружности поставим в соответствие точку \(X_1\), в которой луч \(OX\) пересекает вторую окружность.
Луч, выходящий из центра, пересекает каждую из окружностей ровно в одной точке, поэтому каждой точке \(X\) первой окружности отвечает единственная точка \(X_1\) второй окружности.
Каждая точка второй окружности задействована: для точки \(X_1\) второй окружности луч \(OX_1\) пересекает первую окружность в единственной точке \(X\), которой и отвечает точка \(X_1\).
Между множествами точек этих окружностей установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому они равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) одной окружности — точка \(X_1\) пересечения луча \(OX\) со второй окружностью» взаимно однозначное, поэтому множества точек любых двух концентрических окружностей равномощны.
