Страница 20 номер 2.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Покажите, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.
Каждой точке \(X\) стороны \(AB\) квадрата \(ABCD\) поставим в соответствие точку \(X_1\) пересечения диагонали \(AC\) с перпендикуляром к прямой \(AB\), проведённым через точку \(X\).
Прямая \(AC\) не перпендикулярна прямой \(AB\), поэтому такой перпендикуляр пересекает прямую \(AC\) ровно в одной точке, то есть каждой точке стороны \(AB\) отвечает единственная точка диагонали \(AC\).
Каждая точка диагонали задействована: перпендикуляр, опущенный из точки \(X_1\) на прямую \(AB\), имеет основание на стороне \(AB\), и это единственная точка стороны, которой отвечает точка \(X_1\).
Соответствие взаимно однозначное, поэтому множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) стороны \(AB\) — точка \(X_1\) пересечения проведённого через неё перпендикуляра к \(AB\) с диагональю \(AC\)» взаимно однозначное, поэтому множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.
Покажите, что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.
Пусть \(ABCD\) — квадрат. Покажем, что множество точек его стороны \(AB\) равномощно множеству точек его диагонали \(AC\); для любой другой стороны и любой другой диагонали рассуждение такое же.
Каждой точке \(X\) стороны \(AB\) поставим в соответствие точку \(X_1\), в которой перпендикуляр к прямой \(AB\), проведённый через точку \(X\), пересекает диагональ \(AC\).
Прямая \(AC\) не перпендикулярна прямой \(AB\), поэтому каждый такой перпендикуляр пересекает прямую \(AC\) ровно в одной точке. Точке \(A\) отвечает точка \(A\), точке \(B\) — точка \(C\), а точке \(X\), лежащей между \(A\) и \(B\), — точка диагонали, лежащая между \(A\) и \(C\). Значит, каждой точке стороны \(AB\) отвечает единственная точка диагонали \(AC\).
Каждая точка диагонали задействована. Действительно, если из точки \(X_1\) диагонали \(AC\) опустить перпендикуляр на прямую \(AB\), то его основание лежит на стороне \(AB\), и это единственная точка стороны, которой отвечает точка \(X_1\).
Между множеством точек стороны \(AB\) и множеством точек диагонали \(AC\) установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому эти множества равномощны.
Ответ: соответствие «точка \(X\) стороны \(AB\) — точка \(X_1\) пересечения проведённого через неё перпендикуляра к \(AB\) с диагональю \(AC\)» взаимно однозначное, поэтому множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны.
