Страница 19 номер 2.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких прямоугольников больше: с периметром, равным 1000, или с периметром, равным 1002?
При данном периметре прямоугольник полностью определяется своей меньшей стороной \(a\).
Периметр 1000: сумма длин соседних сторон \(1000 : 2 = 500\), вторая сторона равна \(500 - a\), причём \(a \leqslant 500 - a\), то есть \(a \leqslant 250\) и \(a\) принимает значения \(1,\ 2,\ \ldots,\ 250\).
Периметр 1002: вторая сторона равна \(501 - a\), причём \(a \leqslant 501 - a\), то есть \(2a \leqslant 501\); для натурального \(a\) это даёт \(a \leqslant 250\) — те же значения \(1,\ 2,\ \ldots,\ 250\).
Каждому прямоугольнику со сторонами \(a\) и \(500 - a\) поставим в соответствие прямоугольник со сторонами \(a\) и \(501 - a\), то есть с той же меньшей стороной: \[\begin{array}{cccccc} 1 \times 499, & 2 \times 498, & \ldots, & a \times (500 - a), & \ldots, & 250 \times 250 \\ \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ 1 \times 500, & 2 \times 499, & \ldots, & a \times (501 - a), & \ldots, & 250 \times 251 \end{array}\]
Соответствие взаимно однозначное, поэтому прямоугольников каждого вида поровну — по 250.
Ответ: одинаковое количество (по 250 прямоугольников каждого вида).
Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами. Каких прямоугольников больше: с периметром, равным 1000, или с периметром, равным 1002?
Прямоугольник задаётся длинами двух своих сторон, поэтому при данном периметре он полностью определяется своей меньшей стороной.
Пусть меньшая сторона прямоугольника с периметром 1000 равна \(a\). Тогда сумма длин двух соседних сторон равна \(1000 : 2 = 500\), вторая сторона равна \(500 - a\), причём \(a \leqslant 500 - a\), то есть \(a \leqslant 250\). Значит, меньшая сторона принимает значения \(1,\ 2,\ \ldots,\ 250\), и каждому такому значению отвечает свой прямоугольник.
Пусть меньшая сторона прямоугольника с периметром 1002 равна \(a\). Тогда вторая сторона равна \(501 - a\), причём \(a \leqslant 501 - a\), то есть \(2a \leqslant 501\). Так как число \(a\) натуральное, получаем \(a \leqslant 250\), и меньшая сторона принимает те же значения \(1,\ 2,\ \ldots,\ 250\).
Каждому прямоугольнику со сторонами \(a\) и \(500 - a\) поставим в соответствие прямоугольник со сторонами \(a\) и \(501 - a\), то есть прямоугольник с той же меньшей стороной: \[\begin{array}{cccccc} 1 \times 499, & 2 \times 498, & \ldots, & a \times (500 - a), & \ldots, & 250 \times 250 \\ \updownarrow & \updownarrow & & \updownarrow & & \updownarrow \\ 1 \times 500, & 2 \times 499, & \ldots, & a \times (501 - a), & \ldots, & 250 \times 251 \end{array}\]
Каждому прямоугольнику с периметром 1000 отвечает единственный прямоугольник с периметром 1002, и каждый прямоугольник с периметром 1002 задействован: ему отвечает прямоугольник с периметром 1000 и той же меньшей стороной.
Значит, между этими множествами прямоугольников установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому прямоугольников каждого вида поровну — по 250.
Ответ: одинаковое количество (по 250 прямоугольников каждого вида).
