Страница 19 номер 2.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
В выпуклом \(n\)-угольнике (\(n \geqslant 4\)) никакие три диагонали не пересекаются¹ в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного \(n\)-угольника.
¹ Считают, что диагонали выпуклого многоугольника пересекаются, если у них есть общая точка, отличная от вершины многоугольника.
Точками пересечения диагоналей считают точки внутри многоугольника: две диагонали, выходящие из одной вершины, пересекаются в вершине.
Каждому четырёхугольнику, все вершины которого являются вершинами \(n\)-угольника, поставим в соответствие точку пересечения его диагоналей.
Любые четыре вершины выпуклого \(n\)-угольника служат вершинами ровно одного четырёхугольника, и он выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются в одной точке; каждая из них соединяет вершины, между которыми на границе лежит ещё одна выбранная вершина, то есть является диагональю \(n\)-угольника.
Каждая точка пересечения задействована: пересекающиеся в ней диагонали не имеют общего конца, поэтому их концы — четыре различные вершины, и они служат вершинами такого четырёхугольника.
Разным четырёхугольникам отвечают разные точки: иначе через одну точку проходили бы не менее трёх диагоналей, что противоречит условию.
Соответствие взаимно однозначное, а оба множества конечны, поэтому количества их элементов равны.
Ответ: количество точек пересечения диагоналей выпуклого \(n\)-угольника равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами этого \(n\)-угольника, что и требовалось доказать.
В выпуклом \(n\)-угольнике (\(n \geqslant 4\)) никакие три диагонали не пересекаются¹ в одной точке. Докажите, что количество всех точек пересечения диагоналей равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного \(n\)-угольника.
¹ Считают, что диагонали выпуклого многоугольника пересекаются, если у них есть общая точка, отличная от вершины многоугольника.
Точками пересечения диагоналей считают точки, лежащие внутри многоугольника: две диагонали, выходящие из одной вершины, пересекаются в этой вершине, а не внутри многоугольника.
Каждому четырёхугольнику, все вершины которого являются вершинами данного \(n\)-угольника, поставим в соответствие точку пересечения его диагоналей.
Любые четыре вершины выпуклого \(n\)-угольника служат вершинами ровно одного четырёхугольника, и этот четырёхугольник выпуклый, поэтому его диагонали пересекаются в одной точке. Каждая из этих двух диагоналей соединяет такие вершины \(n\)-угольника, между которыми на его границе лежит ещё одна выбранная вершина, значит, обе они являются диагоналями \(n\)-угольника. Следовательно, каждому четырёхугольнику отвечает единственная точка пересечения диагоналей данного \(n\)-угольника.
Каждая точка пересечения диагоналей задействована. Действительно, пересекающиеся в ней диагонали не имеют общего конца, поэтому их концы — четыре различные вершины \(n\)-угольника. Эти вершины являются вершинами четырёхугольника, диагоналями которого служат данные две диагонали, а точкой их пересечения — рассматриваемая точка.
Разным четырёхугольникам отвечают разные точки. Если бы двум разным четырёхугольникам отвечала одна и та же точка, то через неё проходили бы не менее трёх диагоналей \(n\)-угольника, а по условию никакие три диагонали не пересекаются в одной точке.
Между множеством четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами данного \(n\)-угольника, и множеством точек пересечения его диагоналей установлено взаимно однозначное соответствие. Оба множества конечны, поэтому количества их элементов равны.
Ответ: количество точек пересечения диагоналей выпуклого \(n\)-угольника равно количеству четырёхугольников, все вершины которых являются вершинами этого \(n\)-угольника, что и требовалось доказать.
