Страница 121 номер 15.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} - 16\).
Так как \(2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)\), ОДЗ: \(2x + 3 \geqslant 0\) и \(x + 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\).
Пусть \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = t\); тогда \(t^2 = 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3}\), откуда \(3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = t^2 - 4\) и уравнение принимает вид \(t = t^2 - 4 - 16\); \(t^2 - t - 20 = 0\); \(t = 5\) или \(t = -4\).
Сумма арифметических корней неотрицательна, поэтому \(t = -4\) отпадает и остаётся \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 5\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 25; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 21 - 3x; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 21 - 3x \geqslant 0, \\ 4\left(2x^2 + 5x + 3\right) = (21 - 3x)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
\(8x^2 + 20x + 12 = 9x^2 - 126x + 441\); \(x^2 - 146x + 429 = 0\); \(D = 21\,316 - 1716 = 19\,600\); \(\sqrt{D} = 140\); \(x = \frac{146 \pm 140}{2}\), то есть \(x = 143\) или \(x = 3\).
Условию \(21 - 3x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 7\), удовлетворяет только \(x = 3\).
Ответ: 3.
Решите уравнение \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} - 16\).
Так как \(2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)\), уравнение имеет смысл при \(2x + 3 \geqslant 0\) и \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\).
Пусть \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = t\). Возводя в квадрат обе части последнего равенства, получим \(t^2 = 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3}\), откуда \(3x + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = t^2 - 4\).
Теперь данное уравнение можно переписать так: \(t = t^2 - 4 - 16\). Отсюда \(t^2 - t - 20 = 0\); \(t = 5\) или \(t = -4\).
Уравнение \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = -4\) решений не имеет, так как сумма арифметических корней неотрицательна. Следовательно, исходное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 5\).
Далее:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 3x + 4 + 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 25; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 2\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = 21 - 3x; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -1, \\ 21 - 3x \geqslant 0, \\ 4\left(2x^2 + 5x + 3\right) = (21 - 3x)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Из последнего уравнения: \(8x^2 + 20x + 12 = 9x^2 - 126x + 441\); \(x^2 - 146x + 429 = 0\); \(D = 21\,316 - 1716 = 19\,600\); \(\sqrt{D} = 140\); \(x = \frac{146 \pm 140}{2}\), то есть \(x = 143\) или \(x = 3\).
Условию \(21 - 3x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 7\), удовлетворяет только \(x = 3\).
Ответ: 3.
