Страница 121 номер 15.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(x + \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 2 + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2}\).
ОДЗ: \(x + 6 \geqslant 0\) и \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 2\).
Пусть \(\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2} = y\); тогда \(y^2 = 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 6)(x - 2)}\), откуда \(\sqrt{(x + 6)(x - 2)} = \frac{y^2 - 2x - 4}{2}\), левая часть уравнения равна \(x + \frac{y^2 - 2x - 4}{2} = \frac{y^2 - 4}{2}\) и \(\frac{y^2 - 4}{2} = 2 + y\); \(y^2 - 4 = 4 + 2y\); \(y^2 - 2y - 8 = 0\); \(y = 4\) или \(y = -2\).
Сумма арифметических корней неотрицательна, поэтому \(y = -2\) отпадает и остаётся \(\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2} = 4\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 2, \\ 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 16; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 2, \\ \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 6 - x; \end{cases} \\ \begin{cases} 2 \leqslant x \leqslant 6, \\ x^2 + 4x - 12 = 36 - 12x + x^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Отсюда \(16x = 48\); \(x = 3\), и это значение удовлетворяет условию \(2 \leqslant x \leqslant 6\).
Ответ: 3.
Решите уравнение \(x + \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 2 + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2}\).
Уравнение имеет смысл при \(x + 6 \geqslant 0\) и \(x - 2 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 2\).
Пусть \(\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2} = y\). Возводя в квадрат обе части последнего равенства, получим \(y^2 = 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 6)(x - 2)}\), откуда \(\sqrt{(x + 6)(x - 2)} = \frac{y^2 - 2x - 4}{2}\).
Тогда левая часть данного уравнения равна \(x + \frac{y^2 - 2x - 4}{2} = \frac{y^2 - 4}{2}\), и уравнение принимает вид \(\frac{y^2 - 4}{2} = 2 + y\); \(y^2 - 4 = 4 + 2y\); \(y^2 - 2y - 8 = 0\); \(y = 4\) или \(y = -2\).
Уравнение \(\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2} = -2\) решений не имеет, так как сумма арифметических корней неотрицательна. Следовательно, исходное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 2} = 4\).
Далее:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 2, \\ 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 16; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 2, \\ \sqrt{(x + 6)(x - 2)} = 6 - x; \end{cases} \\ \begin{cases} 2 \leqslant x \leqslant 6, \\ x^2 + 4x - 12 = 36 - 12x + x^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Из последнего уравнения \(16x = 48\); \(x = 3\), и это значение удовлетворяет условию \(2 \leqslant x \leqslant 6\).
Ответ: 3.
