Страница 121 номер 15.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} + \sqrt{2x + 5} = 2x\).
ОДЗ: \(2x + 5 > 0\), то есть \(x > -2{,}5\).
Умножив обе части на положительное число \(\sqrt{2x + 5}\), получаем равносильное уравнение \(x^2 + 2x + 5 = 2x\sqrt{2x + 5}\), а после деления на положительное число \(2x + 5\):
\[\frac{x^2}{2x + 5} + 1 = \frac{2x}{\sqrt{2x + 5}}.\]
Пусть \(\frac{x}{\sqrt{2x + 5}} = t\); тогда \(\frac{x^2}{2x + 5} = t^2\) и \(t^2 + 1 = 2t\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\).
Отсюда \(\frac{x}{\sqrt{2x + 5}} = 1\); \(x = \sqrt{2x + 5}\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 0, \\ x^2 = 2x + 5; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0, \\ x^2 - 2x - 5 = 0. \end{cases} \end{gathered}\]
Корни: \(x = 1 \pm \sqrt{6}\). Число \(1 - \sqrt{6}\) отрицательно, поэтому остаётся \(x = 1 + \sqrt{6}\); это значение принадлежит области определения.
Ответ: \(1 + \sqrt{6}\).
Решите уравнение \(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 5}} + \sqrt{2x + 5} = 2x\).
Уравнение имеет смысл при \(2x + 5 > 0\), то есть при \(x > -2{,}5\).
Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{2x + 5}\). Так как на области определения это положительное число, получим равносильное уравнение \(x^2 + 2x + 5 = 2x\sqrt{2x + 5}\).
Разделим обе части на положительное число \(2x + 5\):
\[\frac{x^2}{2x + 5} + 1 = \frac{2x}{\sqrt{2x + 5}}.\]
Пусть \(\frac{x}{\sqrt{2x + 5}} = t\); тогда \(\frac{x^2}{2x + 5} = t^2\), и уравнение принимает вид \(t^2 + 1 = 2t\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\).
Имеем \(\frac{x}{\sqrt{2x + 5}} = 1\); \(x = \sqrt{2x + 5}\). Далее:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 0, \\ x^2 = 2x + 5; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 0, \\ x^2 - 2x - 5 = 0. \end{cases} \end{gathered}\]
Корни квадратного уравнения: \(x = 1 \pm \sqrt{6}\). Число \(1 - \sqrt{6}\) отрицательно, поэтому остаётся \(x = 1 + \sqrt{6}\); это значение принадлежит области определения уравнения.
Ответ: \(1 + \sqrt{6}\).
