Страница 121 номер 15.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 4 - 2x\).
ОДЗ: \(x - 1 \geqslant 0\) и \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = t\); тогда \(t^2 = 2x + 2 + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)}\), откуда \(2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = t^2 - 2x - 2\) и уравнение принимает вид \(t + t^2 - 2x - 2 = 4 - 2x\); \(t^2 + t - 6 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -3\).
Сумма арифметических корней неотрицательна, поэтому \(t = -3\) отпадает и остаётся \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 1, \\ 2x + 2 + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ \sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 1 - x; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ 1 - x \geqslant 0, \\ (x - 1)(x + 3) = (1 - x)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Из первых двух условий системы \(x = 1\), и при этом значении третье равенство верно: \(0 = 0\).
Ответ: 1.
Решите уравнение \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 4 - 2x\).
Уравнение имеет смысл при \(x - 1 \geqslant 0\) и \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = t\). Возводя в квадрат обе части последнего равенства, получим \(t^2 = 2x + 2 + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)}\), откуда \(2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = t^2 - 2x - 2\).
Теперь данное уравнение можно переписать так: \(t + t^2 - 2x - 2 = 4 - 2x\). Отсюда \(t^2 + t - 6 = 0\); \(t = 2\) или \(t = -3\).
Очевидно, что уравнение \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = -3\) не имеет решений: сумма арифметических корней неотрицательна. Следовательно, исходное уравнение равносильно такому: \(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 3} = 2\).
Далее:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x \geqslant 1, \\ 2x + 2 + 2\sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ \sqrt{(x - 1)(x + 3)} = 1 - x; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ 1 - x \geqslant 0, \\ (x - 1)(x + 3) = (1 - x)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Из первых двух условий системы \(x = 1\), и при этом значении третье равенство верно: \(0 = 0\).
Ответ: 1.
