Страница 121 номер 15.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Корень третьей степени определён при всех значениях переменной.

Пусть \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\). Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \(xy = (ab)^3\), поэтому данная система принимает вид \(\begin{cases} a - b = 2, \\ (ab)^3 = 27. \end{cases}\)

Из второго уравнения \(ab = 3\). Подставив \(a = b + 2\), получаем \((b + 2)b = 3\); \(b^2 + 2b - 3 = 0\); \(b = 1\) или \(b = -3\).

Если \(b = 1\), то \(a = 3\); если \(b = -3\), то \(a = -1\). Значит:

\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{x} = 3, \\ \sqrt[3]{y} = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{x} = -1, \\ \sqrt[3]{y} = -3; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x = 27, \\ y = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} x = -1, \\ y = -27. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]

2) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому система имеет смысл при \(\frac{x}{y} > 0\), то есть когда \(x\) и \(y\) — отличные от нуля числа одного знака.

Пусть \(\sqrt{\frac{x}{y}} = t\), \(t > 0\). Тогда \(\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}\), и первое уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = 2\) или \(t = \frac{1}{2}\).

Если \(t = 2\), то \(\frac{x}{y} = 4\); \(x = 4y\). Из уравнения \(x + y = 5\) получаем \(5y = 5\); \(y = 1\), \(x = 4\).

Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\); \(y = 4x\); \(5x = 5\); \(x = 1\), \(y = 4\).

В обоих случаях \(x\) и \(y\) положительны, то есть условия области определения выполнены.

3) Пусть \(\sqrt[3]{x + 2y} = a\), \(\sqrt[3]{x - y + 2} = b\). Тогда \(a^3 + b^3 = (x + 2y) + (x - y + 2) = 2x + y + 2\), а по второму уравнению системы \(2x + y = 7\), поэтому \(a^3 + b^3 = 9\). Первое уравнение даёт \(a + b = 3\). Далее имеем:

\[\begin{gathered} \begin{cases} a + b = 3, \\ (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} a + b = 3, \\ 27 - 9ab = 9; \end{cases} \\ \begin{cases} a + b = 3, \\ ab = 2. \end{cases} \end{gathered}\]

Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 3z + 2 = 0\), то есть \(z = 1\) или \(z = 2\).

Если \(a = 1\), \(b = 2\), то \(\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x - y + 2 = 8. \end{cases}\) Вычитая из первого уравнения второе, получаем \(3y - 2 = -7\); \(3y = -5\); \(y = -\frac{5}{3}\); тогда \(x = 1 - 2y = \frac{13}{3}\). Второе уравнение данной системы выполняется: \(2 \cdot \frac{13}{3} - \frac{5}{3} = 7\).

Если \(a = 2\), \(b = 1\), то \(\begin{cases} x + 2y = 8, \\ x - y + 2 = 1. \end{cases}\) Точно так же \(3y - 2 = 7\); \(3y = 9\); \(y = 3\); \(x = 8 - 2y = 2\). Проверка второго уравнения: \(2 \cdot 2 + 3 = 7\).

4) Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому система имеет смысл при \(\frac{3x - 2y}{2x} > 0\).

Пусть \(\sqrt{\frac{3x - 2y}{2x}} = t\), \(t > 0\). Тогда \(\sqrt{\frac{2x}{3x - 2y}} = \frac{1}{t}\), и первое уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = 2\); \(t^2 - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\).

Отсюда \(\frac{3x - 2y}{2x} = 1\); \(3x - 2y = 2x\); \(x = 2y\), причём \(x \ne 0\).

Подставим \(x = 2y\) во второе уравнение системы: \(4y^2 - 8y^2 = 18 - 18y\); \(4y^2 - 18y + 18 = 0\); \(2y^2 - 9y + 9 = 0\).

\(D = 81 - 72 = 9\); \(y = \frac{9 \pm 3}{4}\), то есть \(y = 3\) или \(y = 1{,}5\). Соответственно \(x = 6\) или \(x = 3\). В обоих случаях \(\frac{3x - 2y}{2x} = 1 > 0\), то есть условия области определения выполнены.

Ответ: 1) \((27;\ 1)\), \((-1;\ -27)\); 2) \((4;\ 1)\), \((1;\ 4)\); 3) \((2;\ 3)\), \(\left(\frac{13}{3};\ -\frac{5}{3}\right)\); 4) \((6;\ 3)\), \((3;\ 1{,}5)\).