Страница 121 номер 15.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

1) Система имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\).

Пусть \(\sqrt{x} = a\), \(\sqrt{y} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(x = a^2\), \(y = b^2\), \(\sqrt{xy} = ab\), и данная система принимает вид:

\[\begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 + 4ab = 37. \end{cases}\]

Так как \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), второе уравнение даёт \(25 - 2ab + 4ab = 37\); \(ab = 6\). Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 5z + 6 = 0\), то есть \(z = 2\) или \(z = 3\). Далее имеем:

\[\begin{gathered} \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6; \end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} a = 2, \\ b = 3, \end{cases} \\ \begin{cases} a = 3, \\ b = 2. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]

Оба набора удовлетворяют условиям \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Возвращаясь к переменным \(x\) и \(y\), получаем:

\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt{x} = 2, \\ \sqrt{y} = 3, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt{x} = 3, \\ \sqrt{y} = 2; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x = 4, \\ y = 9, \end{cases} \\ \begin{cases} x = 9, \\ y = 4. \end{cases} \end{array}\right. \end{gathered}\]

2) Корень третьей степени определён при всех значениях переменной.

Пусть \(\sqrt[3]{x} = a\), \(\sqrt[3]{y} = b\). Тогда \(x = a^3\), \(y = b^3\) и \(xy = (ab)^3\), поэтому данная система принимает вид \(\begin{cases} a + b = 3, \\ (ab)^3 = 8. \end{cases}\)

Из второго уравнения \(ab = 2\). Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 3z + 2 = 0\), то есть \(z = 1\) или \(z = 2\). Значит, \(a = 1\), \(b = 2\) или \(a = 2\), \(b = 1\), откуда \(x = 1\), \(y = 8\) или \(x = 8\), \(y = 1\).

3) Система имеет смысл при \(x + y \geqslant 0\) и \(x - y \geqslant 0\).

Пусть \(\sqrt[4]{x + y} = a\), \(\sqrt[4]{x - y} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(\sqrt{x + y} = a^2\), \(\sqrt{x - y} = b^2\), и данная система принимает вид \(\begin{cases} a + b = 4, \\ a^2 - b^2 = 8. \end{cases}\)

Разложим левую часть второго уравнения на множители: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Так как \(a + b = 4\), получаем \(4(a - b) = 8\), откуда \(a - b = 2\). Далее имеем:

\[\begin{gathered} \begin{cases} a + b = 4, \\ a - b = 2; \end{cases} \\ \begin{cases} a = 3, \\ b = 1. \end{cases} \end{gathered}\]

Возвращаясь к переменным \(x\) и \(y\), получаем:

\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt[4]{x + y} = 3, \\ \sqrt[4]{x - y} = 1; \end{cases} \\ \begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 1; \end{cases} \\ \begin{cases} x = 41, \\ y = 40. \end{cases} \end{gathered}\]

4) Система имеет смысл при \(4 - x + y \geqslant 0\) и \(9 - 2x + y \geqslant 0\).

Пусть \(\sqrt{4 - x + y} = a\), \(\sqrt{9 - 2x + y} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(a^2 + b^2 = (4 - x + y) + (9 - 2x + y) = 13 - 3x + 2y\), а по второму уравнению системы \(2y - 3x = 12\), поэтому \(a^2 + b^2 = 25\). Первое уравнение даёт \(a + b = 7\). Далее имеем:

\[\begin{gathered} \begin{cases} a + b = 7, \\ (a + b)^2 - 2ab = 25; \end{cases} \\ \begin{cases} a + b = 7, \\ ab = 12. \end{cases} \end{gathered}\]

Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 7z + 12 = 0\), то есть \(z = 3\) или \(z = 4\).

Если \(a = 3\), \(b = 4\), то \(\begin{cases} 4 - x + y = 9, \\ 9 - 2x + y = 16. \end{cases}\) Вычитая из первого уравнения второе, получаем \(x - 5 = -7\); \(x = -2\). Тогда из первого уравнения \(y = 5 + x\), то есть \(y = 3\). Второе уравнение данной системы выполняется: \(2 \cdot 3 - 3 \cdot (-2) = 12\).

Если \(a = 4\), \(b = 3\), то \(\begin{cases} 4 - x + y = 16, \\ 9 - 2x + y = 9. \end{cases}\) Точно так же \(x - 5 = 7\); \(x = 12\). Тогда из первого уравнения \(y = 12 + x\), то есть \(y = 24\). Проверка второго уравнения: \(2 \cdot 24 - 3 \cdot 12 = 12\).

Ответ: 1) \((9;\ 4)\), \((4;\ 9)\); 2) \((8;\ 1)\), \((1;\ 8)\); 3) \((41;\ 40)\); 4) \((-2;\ 3)\), \((12;\ 24)\).